Mastodawn

Skrive matematikk med LaTeX

LaTeX er et språk vi kan bruke til å skrive inn matematiske uttrykk og formler på datamaskiner. Dette gjør det mulig å legge inn brøker, potenser, kvadratrøtter og mye mer. Jeg bruker det blant annet til å skrive inn uttrykk på denne siden.

Jeg har laget en liste med eksempler på hvordan vi kan skrive vanlige formler fra videregående skole med LaTeX. Denne gangen skal jeg hovedsakelig se på formler for Matematikk 1P og Matematikk 2P.

Dette er del 3 i en serie med bloggposter om LaTeX

Innhold

Innhold

Mattemodus

Symboler og kommandoer

Formler for areal og omkrets

Prisindeks, kroneverdi og reallønn

Prosentregning

Rett linje

Funksjoner

Sannsynlighetsregning

Statistikk

Intervaller og mengder

Geometriske symboler

Andre symboler

Måleenheter

Mattemodus

WordPress

I nyere versjoner av WordPress (6.8 +) kan vi legge inn LaTex-uttrykk som egne blokker eller som en del av et avsnitt.

Uttrykk som egen blokk.

Vi velger blokktypen math. Dette gir oss en boks for å skrive inn uttrykket.

Uttrykk i teksten

Inne i et avsnitt kan vi velge math fra formateringsmenyen for å sette inn et uttrykk i teksten. Dette gir oss også en inntastingsboks.

Jupyter og Matplotlib

For Jupyter er det hele enda lettere. All tekst som starter med $(«dollartegn») og slutter med $ blir tolket som LaTeX, $...$ . Dersom vi vil sette inn uttrykket på en egen linje starter vi og slutter vi med doble dollartegn, $$...$$.

For Matplotlib bruker vi bare enkle dollartegn, $...$ .

Symboler og kommandoer

Vi kan legge inn variabler som $a$, $b$, $x$ og $y$ og symboler som $=$, $+$ og $–$ ved å skrive dem inn.

Vi har allerede sett et eksempel:

y = ax + b

blir til

$$y = ax + b$$

Variablene blir skrevet ut som matematiske symboler og ikke som bokstaver i en tekst!

For tegn som ikke er på tastaturet må vi sette inn en kommandoer i stedet for. Disse starter med \. For eksempel skriver vi gangetegn, $\cdot$, som \cdot.

2 \cdot 2

blir til

$$2 \cdot 2$$

cdot er en forkortelse for centered dot. De fleste kommandoene vi bruker er engelske ord eller forkortelser for engelske ord og uttrykk.

Kommandoer setter bare ikke inn symboler. Vi skal senere se på kommandoer som endrer utseendet på et eller flere etterfølgende symboler. Pass på: kommandoer skiller mellom stor og liten bokstav.

Tilgjengelige kommandoer og symboler

Jeg skal gå gjennom en liten del av LaTeX-kommandoene og symbolene som er tilgjengelige. De fleste vi bruker ligger i standardinstallasjonen eller i ekstrapakkene amsmath eller amssymb. Disse kommandoene og symbolene er tilgjengelige i de fleste formeleditorer.

Det finnes flere mer eller mindre komplette kommandooversikter på engelsk:

Jim Hefferon, Saint Michael’s College, VT USA: LATEX Math for Undergrads (mer forklarende)
Ukjent: LATEX Mathematical Symbols (mer utfyllende)
Scott Pakin: The Comprehensive LaTeX Symbol List (mest utfyllende. Inneholder alle symboler i alle programpakker, men mange av kommandoene er ikke tilgjengelige i enkle editorer)

Formler for areal og omkrets

Pythonkode for figurene i denne delen.

Rektangel

Areal

$$A = g \cdot h$$ A = g \cdot h navnkodesymbolgangetegn\cdot$\cdot$er lik=$=$

Omkrets

$$o = 2 \cdot (g + h) $$ o = 2 \cdot (g + h) navnkodesymbolpluss+$+$

Trekant

$$A = \frac{g \cdot h}{2}$$ A = \frac{g \cdot h}{2}

Når vi regner ut arealet til en trekant må vi dele på 2. Vi viser divisjon i formler som en brøk. Vi legger inn brøker med koden \frac{}{} hvor uttrykkene for teller og nevner ligger inni de to krøllparentesene. \frac kommer av det engelske ordet for brøk, fraction.

navnkodesymbolbrøk\frac{a}{b}$\frac{a}{b}$

{} grupperer symboler. Hvis vi bare har et symbol trenger vi egentlig ikke å ha med krøllparenteser, men kan skrive \frac a b. Jeg synes det blir mer oversiktlig med å alltid bruke krøllparenteser for teller og nevner. \frac er en av mange kommandoer som endrer utseendet på et eller flere etterfølgende symboler eller grupper av symboler.

Parallellogram

$$A = g \cdot h$$ A = g \cdot h

Trapes

$$A = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$$ A = \frac{(a + b) \cdot h}{2}

Sirkel

Areal

$$A = \pi \cdot r^2$$ A = \pi \cdot r^2

Vi setter inn symbolet for $\pi$ ved å skrive \pi.

Vi setter inn eksponenter med ^-tegnet. Avhengig av hvilket operativsystem eller tastatur du bruker finner vi det på litt forskjellige steder på tastaturet. Hvis du er i tvil kan du alltids bruke tegnkart eller skjermtastatur.

navnkodesymbolpi\pi$\pi$potens
eksponent
superscripta^b$a^b$

Omkrets

$$o = 2 \pi r$$ o = 2 \pi r

Sirkelsektor

Areal

$$A = \pi r^2 \frac{n \degree}{360\degree}$$ A = \pi r^2 \frac{n \degree}{360\degree}

Vi setter inn gradtegnet, $\degree$, med \degree.

navnkodesymbolgrader\degree$\degree$

Buelengde

$$b = 2 \pi r \frac{n \degree}{360\degree}$$ b = 2 \pi r \frac{n \degree}{360\degree}

Volum og overflate

Pythonkode for romfigurene i denne delen.

Pythonkode for de utbrettede rom figurene i denne delen.

Dette avsnittet introduserer ingen nye symboler, men jeg har tatt det med likevel for å ha dekket alle formlene i pensum.

Terning

Volum

$$V = s^3$$ V = s^3

Overflate

$$O = 6 \cdot s^2$$ O = 6 \cdot s^2

Prisme

$$V = G \cdot h$$ V = G \cdot h

Rett prisme

Volum

$$V = l \cdot b \cdot h$$ V = l \cdot b \cdot h

Overflate

$$O = 2 l b + 2 l h + 2 b h$$ O = 2 l b + 2 l h + 2 b h

Pyramide

Volum

$$V = \frac{G \cdot h}{3}$$ V = \frac{G \cdot h}{3}

Areal

Tar ikke med formelen, men her er tegninger for å utlede arealet.

Syllinder

Volum

$$V = \pi r^2 h$$ V = \pi r^2 h

Overflate

$$O = 2 \pi r^2 + 2\pi r h$$ O = 2 \pi r^2 + 2\pi r h

Kjegle

Volum

$$V =\frac{\pi r^2 h}{3}$$ V =\frac{\pi r^2 h}{3}

Overflate

$$O = \pi r s + \pi r^2$$ O = \pi r s + \pi r^2

Kule

Volum

$$V = \frac{4 \pi r^3}{3}$$ V = \frac{4 \pi r^3}{3}

Overflate

$$O = 4 \pi r^2$$ O = 4 \pi r^2

Brøkregning

Erfaringsmessig er det lett å rote til rekkefølgen på krøllparentesene, {}, når vi skriver inn brøker.

Utvide

$$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c} $$ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}

Forkorte

$$\frac{a}{b} = \frac{a : c}{b : c} $$ \frac{a}{b} = \frac{a : c}{b : c}

Multiplikasjon

$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}= \frac{a \cdot c}{b \cdot d} $$ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}= \frac{a \cdot c}{b \cdot d} $$a \cdot \frac{c}{d}= \frac{a \cdot c}{b} $$ a \cdot \frac{c}{d}= \frac{a \cdot c}{b}

Divisjon

$$\frac{a}{b} : \frac{c}{d}= \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}= \frac{a \cdot d}{b \cdot c} $$ \frac{a}{b} : \frac{c}{d}= \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}= \frac{a \cdot d}{b \cdot c} $$a : \frac{b}{c}= a \cdot \frac{c}{b}= \frac{a \cdot b}{b} $$ a : \frac{b}{c}= a \cdot \frac{c}{b}= \frac{a \cdot b}{b} navnkodesymboldivisjon:$:$

Sum og differanse

Fellesnevner

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{d}$$ \frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{d}

Ulik nevner

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} + \frac{c \cdot b}{d \cdot b} = \frac{ad + cb}{bd}$$ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} + \frac{c \cdot b}{d \cdot b} = \frac{ad + cb}{bd}

Pythagoras’ setning

$$a^2 + b^2 = c^2$$ a^2 + b^2 = c^2

Kvadratrøtter

$$\sqrt{ab} =\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$$ \sqrt{ab} =\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} navnkodesymbolkvadratrot\sqrt{a}$\sqrt{a}$ $$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$$ \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} navnkodesymbolnte-rot\sqrt[n]{a}$\sqrt[n]{a}$

Vi gir kommandoer ekstra argumenter med klammeparenteser [].

$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$$ \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}

Potenser

$$a^p \cdot a^q = a^{p + q}$$ a^p \cdot a^q = a^{p + q}

Vi bruker krøllparenteser {} til å gruppere uttrykk. I dette tilfellet er det nødvendig å skrive {p + q} for at hele uttrykket skal komme inn i eksponenten.

navnkodesymbolgruppe{} $$\frac{a^p}{a^q} = a^{p – q}$$ \frac{a^p}{a^q} = a^{p - q} $$(a^p)^q = a^{p\cdot q}$$ (a^p)^q = a^{p\cdot q}

Vi ser at det går an til å stable eksponenter!

$$\left(\frac{a}{b} \right)^p = \frac{a^p}{b^p}$$ \left(\frac{a}{b} \right)^p = \frac{a^p}{b^p}

Vi kan få parentesene til å automatisk justere størrelsen slik at de er like store som uttrykket de omslutter med å starte med \left( og slutte med \right).

navnkodesymbolparenteser med automatisk størrelse\left( a \right)$\left( a \right)$ $$(a\cdot b)^p = a^p \cdot b^p$$ (a\cdot b)^p = a^p \cdot b^p $$a^{-p} = \frac{1}{a^p}$$ a^{-p} = \frac{1}{a^p} $$a^\frac{p}{q} = \sqrt[q]{a^p}$$ a^\frac{p}{q} = \sqrt[q]{a^p}

Standardform

$$a = \pm k \cdot 10^n$$ a = \pm k \cdot 10^n

Hvor $k$ er et tall større enn eller lik 1 og mindre enn 10:

$$1 \leq k < 10$$ 1 \leq k < 10

og $n$ er et heltall:

$$n \in \mathbb{Z}$$ n \in \Z

Vi kan også skrive mengden $Z$ som

$$n \in \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$$ n \in \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\} navnkodesymbolpluss/minus\pm$\pm$mindre enn<$<$mindre enn eller lik\leq$\leq$i mengde\in$\in$mengden av heltall\Z
\mathbb{Z}$\Z$
$\mathbb{Z}$mengde med diskrete elementer\{\}$\{\}$

Andregradslikning

$$ax^2 + bx + c = 0$$ ax^2 + bx + c = 0 $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Faktorisering av andregradsuttrykk

$$ax^2 + bx + c = a(x – x_1)(x – x_2)$$ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)

Hvor $x=x_1$ og $x=x_2$ er løsningene av andregradslikningen.

navnkodesymbolsubskriptx_i
x_{i, j}$x_i$
$x_{i, j}$

Hvis vi skal ha mer enn et symbol i subskriptet må vi gruppere symbolene med klammeparentes {}.

Prisindeks, kroneverdi og reallønn

Prisindeks

$$\frac{\text{pris 1}}{\text{pris 2}} = \frac{\text{indeks 1}}{\text{indeks 2}}$$ \frac{\text{pris 1}}{\text{pris 2}} = \frac{\text{indeks 1}}{\text{indeks 2}}

Kroneverdi

$$\text{kroneverdi} = \frac{100}{\text{konsumprisindeks}}$$ \text{kroneverdi} = \frac{100}{\text{konsumprisindeks}}

Reallønn

$$\text{reallønn} = \text{lønn} \cdot \text{kroneverdi} = \text{lønn}\cdot\frac{100}{\text{konsumprisindeks}}$$ \text{reallønn} = \text{lønn} \cdot \text{kroneverdi} = \text{lønn}\cdot\frac{100}{\text{konsumprisindeks}}

Prosentregning

Prosent og promille

$$\frac{1}{100} = 1\%$$ \frac{1}{100} = 1\%

Siden LaTeX bruker %-tegnet til kommentarer må vi skrive inn \% for å vise dette tegnet.

$$\frac{1}{1000} = 1\permil$$ \frac{1}{1000} = 1\permil navnkodesymbolprosent\%$\%$promille\permil$\permil$

Vekstfaktor

$$k = \left(1 + \frac{p}{100}\right)$$

Hvor $k$ er vekstfaktoren og $p$ er prosenttallet.

Prosentvis vekst over flere perioder

$$B_n = B_0 k^n$$ B_n = B_0 k^n

Hvor $B_0$ er startverdien og $B_n$ er verdien etter $n$ perioder.

Annualisert vekstfaktor

$$k = \sqrt[n]{\frac{B_n}{B_0}}$$ k = \sqrt[n]{\frac{B_n}{B_0}}

Rett linje

Pythonkode for figurene i dette avsnittet.

Likning

Likning for rett linje med stigningstall $a$ og konstantledd $b$.

$$y = ax+b$$ y = ax+b

Stigningstall

Stigningstall for en rett linje gjennom $(x_1, y_1)$ og $(x_2, y_2)$.

$$a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}$$ a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Delta-tegnet, $\Delta$, er den store greske bokstaven Delta.

navnkodesymbolStor delta\Delta$\Delta$

Ettpunktsformelen

Likning for en rett linje gjennom $(x_1, y_1)$ med stigningstall $a$.

$$y – y_1 = a (x – x_1)$$ y - y_1 = a (x - x_1)

Funksjoner

Andregradsfunksjon

$$f(x) = ax^2 + bx + c, a \neq 0 $$ f(x) = ax^2 + bx + c, a \neq 0 navnkodesymbolikke lik\neq

Polynomfunksjon

$$f(x) = k_n x^n + \ldots + k_2 x^2 + k_1 x + k_0$$ f(x) = k_n x^n + \ldots + k_2 x^2 + k_1 x + k_0

Potensfunksjon

$$f(x) = ax^b$$ f(x) = ax^b

Eksponentialfunksjon

$$f(x) = bk^x$$ f(x) = bk^x

Sannsynlighetsregning

Uniform sannsynlighetsmodell

Sannsynligheten for en hending $A$ i en uniform sannsynlighetsmodell

$$P(A) = \frac{\text{antall gunstige utfall for} A}{\text{antall mulige utfall}}$$ P(A) = \frac{\text{antall gunstige utfall for} A}{\text{antall mulige utfall}}

Komplementære hendelser

$\bar{A}$ er den hendelsen at $A$ ikke intreffer.

$$P(\bar{A}) = 1 – P(A)$$ P(\bar{A}) = 1 - P(A) navnkodesymbolkomplement\bar{A}$\bar{A}$

Disjunkte hendelser

$A$ og $B$ har ingen felles utfall.

$$A \cap B = \emptyset$$ A \cap B = \emptyset navnkodesymbolsnitt\cap$\cap$

Addisjonssetningen

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) navnkodesymbolunion\cup$\cup$

Produktsetningen

$P(B | A)$ betyr den betingede sannsynligheten for $B$ gitt $A$.

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)

Produktsetningen for uavhengige hendelser

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) navnkodesymbolbetinget|$|$

Statistikk

Gjennomsnitt

$$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$$ \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i

Hvor $\bar{x}$ er gjennomsnittet, $n$ er antall observasjoner og $x_i$ er den $i$-te observasjonen. $\sum$-tegnet ( $\sum$-operatoren) viser at vi skal summere alle $x$-verdiene fra $1$ til $n$.

Vi ser at vi bruker den samme kommandoen og symbolet for gjennomsnitt som for komplement \bar.

navnkodesymbolgjennomsnitt\bar{x}$\bar{x}$summetegn\sum$\sum$summetegn med grenser\sum_{i = 1}^n$\sum_{i=1}^n$

Vi ser at for frittstående matteblokker blir summetegnet stort og summeringsgrensene kommer over og under tegnet. For matematikk inne i teksten blir symbolet mindre og grensene kommer til høyre for teksten.

Variasjonsbredde

$$\mathrm{variasjonsbredde} = x_\mathrm{max}-x_\mathrm{min}$$ \mathrm{variasjonsbredde} = x_\mathrm{max}-x_\mathrm{min}

Varians

$$\mathrm{Var}[X] = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left(x_i – \bar{x} \right)^2 = \sigma^2$$ \mathrm{Var}[X] = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left(x_i - \bar{x} \right)^2 = \sigma^2 navnkodesymbolvarians\sigma^2$\sigma^2$standardavvik\sigma$\sigma$

Intervaller og mengder

navnkodesymbolfra og med[$[$til og med]$]$fra men ikke med\langle$\langle$til men ikke med\rangle$\rangle$

Geometriske symboler

Geometriske symboler som blant annet er nyttige for å diskutere formlikhet.

navnkodesymbol(spiss) vinkel\angle$\angle$grader\degree$\degree$vinkelrett
ortogonal\perp$\perp$paralell\parallel$\parallel$ikke paralell\nparallel$\nparallel$trekant\triangle$\triangle$formlikhet\sim$\sim$

Andre symboler

Det er litt flere symboler vi kan trenge på 1P/2P-nivå.

navnkodesymbolomtrent lik\approx$\approx$større enn>$>$større enn eller lik\geq$\geq$implikasjon\Rightarrow$\Rightarrow$ekvivalens\Leftrightarrow$\Leftrightarrow$uendelig\infty$\infty$går mot\rightarrow$\rightarrow$naturlige tall\N
\mathbb{N}$\N$
$\mathbb{N}$reelle tall\R
\mathbb{R}$\R$
$\mathbb{R}$mikro\mu$\mu$

Måleenheter

Dersom vi ønsker å skrive enheter i uttrykkene våre må vi bruke \mathrm{} for å få dem til å se riktige ut.

navnkodesymbolkilogram\mathrm{kg}$\mathrm{kg}$meter\mathrm{m}$\mathrm{m}$kvadratmeter\mathrm{m}^2$\mathrm{m}^2$kubikkmeter\mathrm{m}^3$\mathrm{m}^3$literl$l$sekunder\mathrm{s}$\mathrm{s}$meter per sekund\mathrm{m/s}$\mathrm{m/s}$kilometer i timen\mathrm{km/h}$\mathrm{km/h}$kelvin\mathrm{K}$\mathrm{K}$celsiusgrader\degree\mathrm{C}$\degree\mathrm{C}$watt\mathrm{W}$\mathrm{W}$