#julialang #pyplot #animatedgif #zeta #mathNT #gist
次のリンク先にGIFアニメ作成に使ったJuliaのコードがあります。
http://nbviewer.jupyter.org/gist/genkuroki/ceafce0153bd1e5e6c1d180fdf61720a
#julialang #pyplot #animatedgif #zeta #mathNT
$\mathrm{Re}\,s=0.6$ の場合
#julialang #pyplot #animatedgif #zeta #mathNT
訂正： mathtod.online では言うまでもないと思いますが、 $\zeta(1/s+it)$ ではなく、$\zeta(1/2+it)$ が正しいです。
「ゼータ函数の非自明な零点はすべて $1/2+it$ ($t$ は実数) の形をしていだろう」というのが Riemann 予想です。
#julialang #pyplot #animatedgif #zeta #mathNT
ゼータ函数の $\mathrm{Re}\,s=1/2$ における値 $\zeta(1/s+it)$ の軌跡のプロット。
$z=0$ の上を何度も繰り返し通ります。
#statistics #probability #mathNT
正の実数をかけるスケール変換は正の実数全体のなす可換群の作用とみなせます。
群の作用で保存されるような測度で積分を書いておくと、その測度の部分については群作用で形が変わらないことになります。
例えば、$dx/x$ の場合には、 $x$ を $ax$ で置き換えても、分子分母で $a$ がキャンセルして $dx/x$ のまま変化しません。
$dx$ は平行移動不変な測度です。 $x$ を $x+a$ で置き換えても $dx$ は変化しない。
この手の測度は数学的に極めて素性が良いもので、ありとあらゆる場所に現われます。
こういうことを色々理解していると、同じような不変性を持つ測度を使って全然別の数学の世界で別の面白い数学を展開できたりします。
例えば、話題のベータ函数の有限体での類似物を考えると、ヤコビ和という数論的に極めて有用な道具が得られます。
#mathNT #zeta #julialang #pyplot #gist
なるほど、$\sigma$ を固定して、$t$ だけを動かして, $\zeta(\sigma +it)$ をプロットすればどういう感じになっているのか「見える」のか。
$\sigma\ne1/2$ でプロットすると、原点を避けて通っているように見えます。(原点を通ったらRiemann予想の反例になってしまう。)
使ったコードは
https://gist.github.com/genkuroki/b754c0ac7d526a22404147b814501ed8
で公開してあります。
https://juliabox.com/ でも使えると思います。
タグを付け忘れていた。
#mathNT #zeta #julialang #pyplot #gist
せっかくなので $\sigma=1/2$ の場合もプロットしてみました。
添付画像は曲線 $\zeta(1/2+it)$, $|t|<100$ の範囲でのプロットです。
ζ函数の非自明な零点が見えています。(原点に対応する $t$ 達が非自明な零点を与える。)
初めて見た。
#julialang #specialfunctions #mathNT #primenumbertheorem
https://github.com/JuliaLang/julia/issues/7089
でJuliaに指数積分函数が見当たらないという問題が話題になっていました。
私も、素数定理のグラフを描こうと思って、対数積分函数を探して見付からないことで、指数積分函数も見つからないことに気付いた。
対数積分函数 Li(x) と指数積分函数 Ei(x) の関係は Li(x)=Ei(log(x)).
Li(x) が x 以下の素数の個数と同じオーダーで大きくなというのが素数定理。
#julialang #jupyter #MPFR #scipy #mathNT #RiemannHypothesis #python
Juliaで指数積分函数を使いたい場合には、JuliaではPythonのライブラリもかなり自由に使えるので、scipy.special.expi なんかを使えばよいと思いました。
じきに誰かが Julia にも実装してくれると思います。
Julia言語で「○○がない」と困ったら、Pythonくんに「ねえねえ、貸して、貸してぇ！」と言うと楽なことが多いと思う。
#julialang #jupyter #MPFR #scipy #mathNT #RiemannHypothesis
Andre Weilさんも有限体上の楕円曲線に関するRiemann予想の類似について
「Artinは, 遊戯の専門家だから確 率論的に, r が √p のorderであると考えた」
と言っています。Artinさんはきっと勝負事が好きだったのでしょう。
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/7/4/7_4_196/_article/-char/ja/
黒木玄 Gen Kuroki