Как работать с моделью числа II

Содержание текста статьи у некоторых читателей Хабра вызвало определенный интерес (судя по комментариям). Что в общем-то не удивительно, так как тема статьи весьма актуальная для современного общества – информационная безопасность. Специалисты проявляют интерес и активно разрабатывают тему с момента открытия двухключевой криптографии и односторонних функций (около 50 лет). На самом деле проблема гораздо шире границ предметной области – информационная безопасность, что можно понять уже из рассмотрения частной задачи – факторизации числа. Математики в разных частях и странах мира на протяжении многих тысячелетий пытаются решить задачу разложения большого числа (ЗРБЧ) на множители – найти операцию обратную умножению, но до сих пор без особого успеха. Числа с разрядностью нескольких сотен пока разложить на множители не удается. Известно несколько подходов к решению проблемы (алгоритм Ферма, числовое решето, эллиптические кривые, CFRAC, CLASNO, SQUFOF, Вильямса, Шенкса и др.), которые критикуются и не кажутся перспективными и которые даже не претендуют на универсальность. Автором публикации предлагается оригинальный подход к решению проблемы с претензией на универсальность, т.е. без каких либо ограничений на факторизуемые числа, в частности, ограничений на разрядность чисел. Появилась уверенность, что по крайней мере читатели domix 32; wataru; Naf2000 понимают, что в моих статьях идет речь о модели, так как вопросы задаются осмысленные. Здесь важно понимать в рамках какой модели числа разрабатывается алгоритм поиска делителей (сомножителей) заданного составного числа, допущения, ограничения, требования и другие условия модели. Понимать какое влияние они оказывают на характеристики, в частности, на длительность процесса поиска решения. Известные в настоящее время подходы и алгоритмы не обеспечивают с приемлемыми временными характеристиками получение решения. В настоящее время ситуация с моделированием чисел и факторизацией как пишут Манин и Панчишкин близка к тупику или уже в тупике.

https://habr.com/ru/articles/908714/

#Модель #число #таблица #строка #инволюция #идемпотент #интервал #делители #вычеты #центры

Закон распределения делителей числа (расширенная версия)

В арифметике известны элементарные действия с числами (+), (–), (×), (/) и др., использование которых при заданных исходных данных дает нам возможность получать определенные результаты: сумму, разность, произведение, частное. Обратное действие с результатами в качестве исходных данных возможно далеко не всегда. Например, возведение в третью степень числа 7 3 = 343, обратным действием имеет извлечение из результата корня третьей степени ( 343 ) 1/3 = 7. При заданных результатах определить какими были исходные данные не всегда возможно. Для суммы даже двух слагаемых 7 + 6 = 13 такого единственного обратного действия нет. Для числа 13 мы можем получить очень разные исходные 13 = 1+12 = 2+11 = 3+10 = 4 +9 = 5 + 8 = 6+7. С умножением в качестве исходных составных чисел картина похожая, но если исходными сомножителями взяты простые числа, то обратной операцией для произведения является действие, называемое факторизацией числа – результата умножения. К сожалению, на сегодняшний день действие факторизации не может быть задано какими-то простыми вычислениями, а очень большие числа – результаты (сотни цифр в описании) вообще не могут быть факторизованы. Как выполнить поиск простых делителей результата-произведения мы сегодня не знаем. Такие делители, вообще говоря, как-то распределены в числовых рядах. Например, в натуральном ряде чисел (НРЧ) или в последовательности нечетных чисел (ПНЧ) простые числа-делители и их кратные имеют достаточно регулярные распределения, каждое со своим шагом. Задавая произведение простых чисел N = p˖q˖h˖s , мы понимаем, что каждое из p, q, h, s меньше самого N . Если ограничить начальный фрагмент НРЧ или ПНЧ значением N , то в пределах выделенного фрагмента будут присутствовать кратные делителей с возрастающими от 1 коэффициентами (для ПНЧ коэффициенты будут нечетными). Сможем ли мы увидеть и выделить такие кратные делителей N? Они ведь нам неизвестны. Сегодня ответ на этот вопрос положителен. В 2014 году мной на Хабре был опубликован закон распределения делителей (ЗРД) натурального числа N в НРЧ. Применение закона позволяет получать для заданного натурального N его простые делители и их кратные в НРЧ. Ниже я кратко повторю публикацию 2014 года и приведу расширенную версию ЗРД на ряд целых чисел N. Читать далее.

https://habr.com/ru/articles/851270/

#факторизация_чисел #числовые_последовательности #алгебраические_структуры #интервалы #делители #кратные_делителей #модули #модель #квадраты #модулярная_арифметика

Я создал самый быстрый способ поиска делителей числа

Мной было проверено, что он быстрее двух самых быстрых способов поиска делителей числа: поиск до корня и разложение числа на простые множители с последующим их перебором.

https://habr.com/ru/articles/850592/

#python #делители

Симметрии СМ-модели, идемпотенты. Часть V

Продолжаем знакомство с моделью числа и ее свойствами, а конкретно, с симметриями, которое этой публикацией завершается. Симметрии излагались на разном уровне представления модели: областей строк, отдельных строк, элементов одной строки и элементов разных строк. Для читателей, ознакомившимися с моими предыдущими статьей 1(О разложении модели числа), статьей 2 (О симметриях...) и др. предлагается продолжить знакомство с проблемой моделирования и исследования чисел. Объект натуральный ряд чисел (НРЧ) настолько богат известными и совершенно новыми свойствами, что само их перечисление потребовало бы много места и времени. В этой публикации рассматриваются симметрии, связанные с идемпотентами кольца. Их роль в отображении строк-дублей совершенно не похожа ни на что из рассмотренного ранее, как, впрочем, и для других «осей симметрии». Если, например, центральная строка СММ раздвигала\ сдвигала строки-дубли на постоянный интервал, то линия раздела строк идемпотентов, наоборот, как бы «склеивает» (делает смежными) удаленные строки. Разговор о симметриях подходит к концу, возможно, мне не все удалось увидеть и рассмотреть, изложить текстом, но я старался исследованное мной явление описать в подробностях и деталях. Я представляю, что для проведения успешной атаки на шифр ключевую роль может сыграть «малозначащая» деталь, которую старался не упустить из внимания. Цель публикации в первую очередь образовательная, познавательная, популяризация науки, а также стремление привлечь в ряды исследователей, в науку приток новых молодых (и не очень) умов, вызвать в таких умах стремление к поиску ответов на возникающие вопросы. Масштабность темы требует ввести разумные ограничения на излагаемый материал после краткого панорамного её рассмотрения

https://habr.com/ru/articles/834744/

#модель #число #кольцо_вычетов #натуральные_числа #решеющий_интервал #последовательность_нечетных_чисел #делители #кратные_делителей #идемпотент #инволюция