Как работать с моделью числа II

Содержание текста статьи у некоторых читателей Хабра вызвало определенный интерес (судя по комментариям). Что в общем-то не удивительно, так как тема статьи весьма актуальная для современного общества – информационная безопасность. Специалисты проявляют интерес и активно разрабатывают тему с момента открытия двухключевой криптографии и односторонних функций (около 50 лет). На самом деле проблема гораздо шире границ предметной области – информационная безопасность, что можно понять уже из рассмотрения частной задачи – факторизации числа. Математики в разных частях и странах мира на протяжении многих тысячелетий пытаются решить задачу разложения большого числа (ЗРБЧ) на множители – найти операцию обратную умножению, но до сих пор без особого успеха. Числа с разрядностью нескольких сотен пока разложить на множители не удается. Известно несколько подходов к решению проблемы (алгоритм Ферма, числовое решето, эллиптические кривые, CFRAC, CLASNO, SQUFOF, Вильямса, Шенкса и др.), которые критикуются и не кажутся перспективными и которые даже не претендуют на универсальность. Автором публикации предлагается оригинальный подход к решению проблемы с претензией на универсальность, т.е. без каких либо ограничений на факторизуемые числа, в частности, ограничений на разрядность чисел. Появилась уверенность, что по крайней мере читатели domix 32; wataru; Naf2000 понимают, что в моих статьях идет речь о модели, так как вопросы задаются осмысленные. Здесь важно понимать в рамках какой модели числа разрабатывается алгоритм поиска делителей (сомножителей) заданного составного числа, допущения, ограничения, требования и другие условия модели. Понимать какое влияние они оказывают на характеристики, в частности, на длительность процесса поиска решения. Известные в настоящее время подходы и алгоритмы не обеспечивают с приемлемыми временными характеристиками получение решения. В настоящее время ситуация с моделированием чисел и факторизацией как пишут Манин и Панчишкин близка к тупику или уже в тупике.

https://habr.com/ru/articles/908714/

#Модель #число #таблица #строка #инволюция #идемпотент #интервал #делители #вычеты #центры

Как работать с моделью числа

Часто ли мы задумываемся о числах, о том какова их внутренняя структура, как они устроены? Пока не возникает потребность, необходимость в ответах на сформулированные и многие другие вопросы нас это никак не беспокоит. В какой-то момент жизни мне эти вопросы пришли в голову. Порылся в книгах о числах, понял, что так как они написаны лучше вообще не писать. Авторы не стремятся довести до читателя возникшую проблему, которая возникла перед ними, не формулируют цель, которую они поставили перед собой, не показывают тот путь, которым им пришлось пройти до достижения цели. Излагается, как правило, уже оформленный результат. История науки содержит массу примеров такой фразы «отсюда с очевидностью следует» или «легко получить», после которой пишется про как-то полученный результат. Эти фразы сбивают с толку читателя. Приятное исключение представляют работы Ньютона и Эйлера, с оригиналами которых мне довелось познакомиться. Если они демонстрируют вывод формулы, то не опускают даже, казалось бы, очевидных вещей все излагается последовательно без пропусков, подробно комментируется. На память приходит случай с Лапласом, где он получил урок Один школьный из провинции учитель Франции последовательно повторял за Лапласом все опубликованные им результаты, пока не споткнулся на одном из них. Желая прояснить вопрос, он из провинции прибыл в Париж и обратился к самому Лапласу. Тот не отвернулся от учителя, хотя и был удивлен, что нашелся кто-то, кто повторял за ним все его результаты, как бы проверяя их работоспособность и правильность. Выслушав вопрос учителя, Лаплас попросил его прийти на следующий день, но оказался не готов ответить и перенес встречу на неделю, но и недели оказалось мало, учителю пришлось покинуть Париж без ответов, но с обещанием от Лапласа, что тот его известит, когда ответ будет готов. Это случилось три месяца спустя. Лаплас пригласил учителя стать своим помощником-вычислителем, на что учитель согласился. Лаплас (возможно в отместку) усадил учителя за расчеты астрономических таблиц (рутинный труд). Учитель посвятил таблицам более 20 лет и свой жизненный путь так за их расчетом и закончил. Для лучшего понимания текста читателю желательно иметь распечатку СМ-модели перед собой, а еще лучше написать программу СМ-модели и поработать с ней. Такая программа позволит задавать на вход различные модули (числа N ) сравнения для числовых колец.

https://habr.com/ru/articles/905568/

#Модель #кольцо #идемпотент #инволюция #строка #элемент #окаймление #вычеты #кратность #ключевые_элементы

Симметрии СМ-модели, идемпотенты. Часть V

Продолжаем знакомство с моделью числа и ее свойствами, а конкретно, с симметриями, которое этой публикацией завершается. Симметрии излагались на разном уровне представления модели: областей строк, отдельных строк, элементов одной строки и элементов разных строк. Для читателей, ознакомившимися с моими предыдущими статьей 1(О разложении модели числа), статьей 2 (О симметриях...) и др. предлагается продолжить знакомство с проблемой моделирования и исследования чисел. Объект натуральный ряд чисел (НРЧ) настолько богат известными и совершенно новыми свойствами, что само их перечисление потребовало бы много места и времени. В этой публикации рассматриваются симметрии, связанные с идемпотентами кольца. Их роль в отображении строк-дублей совершенно не похожа ни на что из рассмотренного ранее, как, впрочем, и для других «осей симметрии». Если, например, центральная строка СММ раздвигала\ сдвигала строки-дубли на постоянный интервал, то линия раздела строк идемпотентов, наоборот, как бы «склеивает» (делает смежными) удаленные строки. Разговор о симметриях подходит к концу, возможно, мне не все удалось увидеть и рассмотреть, изложить текстом, но я старался исследованное мной явление описать в подробностях и деталях. Я представляю, что для проведения успешной атаки на шифр ключевую роль может сыграть «малозначащая» деталь, которую старался не упустить из внимания. Цель публикации в первую очередь образовательная, познавательная, популяризация науки, а также стремление привлечь в ряды исследователей, в науку приток новых молодых (и не очень) умов, вызвать в таких умах стремление к поиску ответов на возникающие вопросы. Масштабность темы требует ввести разумные ограничения на излагаемый материал после краткого панорамного её рассмотрения

https://habr.com/ru/articles/834744/

#модель #число #кольцо_вычетов #натуральные_числа #решеющий_интервал #последовательность_нечетных_чисел #делители #кратные_делителей #идемпотент #инволюция

Симметрии модели числа. Часть II

Не хочу прерывать желание читателей, ознакомившихся с предыдущей статьей (О разложении модели числа), продолжить знакомство с проблемой моделирования и исследования чисел. При написании статей хочу обеспечить читателям понимание ограничений и возможностей, применения, конструирования ими своих моделей чисел и устройств, способствующих образованию, приобретению навыков работы с объектами материального и идеального (с числами) мира. Хотя речь в публикациях идет о достаточно просто устроенных математических моделях, но таких простых деталей набирается много и, что не следует считать простым, так это взаимодействие элементов моделей разного уровня: областей строк, отдельных строк, частей одной строки и разных строк. Очевидно, что взаимодействия распределяются по уровням и это всегда имеет место в сколь-нибудь интересных системах биологических (живых) или технических. Простейшие взаимодействия элементов модели – это объединение, пересечение, дополнение, симметрия, отождествление и др. Иногда взаимодействия и действия приводят к неожиданным результатам, которые оказываются даже полезными. Модулярная арифметика содержит много неожиданностей, а прогнозирование результатов вычислений порой весьма затруднительно. Так, например, корни квадратичных сравнений учебники высшей алгебры (Глухов и др.) предлагают находить перебором вариантов, так как в теории этот вопрос разрешения еще не получил. Но в предыдущей моей публикации о разложении модели числа в подмодели он получил неожиданное для меня автоматическое решение. Полученные в разложениях подмодели устроены так, что множество их строк первой половины и второй половины имеют совпадающие последовательности (r л , r с , r п ) троек вычетов. Если вторую (нижнюю) половину пристроить справа к верхней, то общие строки половин будут содержать все четыре корня сравнений, так как КВВ этих строк совпадают. Перебор и поиск корней уже не потребуются. Более того, это решение получается (как бы избыточным) сразу для всех КВВ, хотя это не всегда требуется. Цель публикации в первую очередь образовательная, познавательная, популяризация науки, а также стремление привлечь в ряды исследователей, в науку приток новых молодых (и не очень) умов, вызвать в таких умах стремление к поиску ответов на возникающие вопросы. Масштабность темы требует ввести разумные ограничения на излагаемый материал после краткого панорамного её рассмотрения https://habr.com/ru/articles/229601/

https://habr.com/ru/articles/832534/

#модель #строка #симметрия #симметричные_алгоритмы #инволюция #идемпотент #дублирование #Окаймление #слои #вычеты

Разложение модели числа на подмодели

Изучение чисел простых и составных, четных и нечетных длится не одно тысячелетие, а теория чисел пока далека от завершения. Даже для простых и понятных арифметических операций поиск обратных им операций на сегодняшний день не завершен. Например, для n-й степени числа обратной является операция извлечение корня n-й степени, для умножения чисел обратной является факторизация произведения, но простой и доступный алгоритм ее реализации до сих пор не открыт. Оказалось, что это очень большая и сложная проблема. Универсальный способ факторизации до сих не найден. В мире людей предпринимаются огромные усилия огромным числом математиков (судя по публикациям) для отыскания такого способа, но пока без особого успеха. Известно несколько подходов к решению проблемы (алгоритм Ферма, числовое решето, эллиптические кривые, CFRAC, CLASNO, SQUFOF, Вильямса, Шенкса и др.), которые критикуются и не кажутся перспективными и которые даже не претендуют на универсальность. Автором публикации предлагается оригинальный подход к решению проблемы с претензией на универсальность, т.е. без каких либо ограничений на факторизуемые числа, в частности, ограничений на разрядность чисел. Существо подхода состоит в разработке такой модели числа, которая использует концепцию закона распределения делителей (ЗРД) числа, открытого автором (публикация 2014г). Подход позволяет находить инволюцию в конечном числовом кольце вычетов (КЧКВ) по составному модулю N, путем разложения предлагаемой модели числа (аналогичного разложению кольца Пирса) в цикловые множества строк (ЦМС) модели. Цель публикации в первую очередь образовательная, познавательная, популяризация науки, а также стремление привлечь в ряды исследователей, в науку приток новых молодых (и не очень) умов, вызвать в таких умах стремление к поиску ответов на возникающие вопросы. Масштабность темы требует ввести разумные ограничения на излагаемый материал после краткого панорамного её рассмотрения.

https://habr.com/ru/articles/829244/

#модель #число #кольцо_вычетов #Подмодель #идемпотент #инволюция #Решающий_интервал #накрывающий_интервал #Натуральный_ряд #последовательность_нечетных_чисел