Proposition 129, p. 83: If 𝐹 is a function and (for distinct 𝐴 and 𝐵) either 𝐴 follows 𝐵 or 𝐵 follows 𝐴 in the transitive closure of 𝐹, the successor of 𝐴 is either 𝐵 or it follows 𝐵 or it comes before 𝐵 in the #TransitiveClosure of 𝐹.
Hyp. ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
Hyp. ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
Hyp. ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐹‘𝐴))
Hyp. ⊢ (𝜑 → (𝐴(tc‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵(tc‘𝐹)𝐴))
Hyp. ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
Therefore ⊢ (𝜑 → (𝐵(tc‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(tc‘𝐹)𝐵))
———
Proposition 131, p. 85: If 𝐹 is a function and 𝐴 contains all elements of 𝑈 and all elements before or after those elements of 𝑈 in the transitive closure of 𝐹, then the image under 𝐹 of 𝐴 is a subclass of 𝐴.
Hyp. ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
Hyp. ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑈 ∪ ((◡(tc‘𝐹) “ 𝑈) ∪ ((tc‘𝐹) “ 𝑈))))
Hyp. ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
Therefore ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐴) ⊆ 𝐴)
———
Proposition 133, p. 86: If 𝐹 is a function and 𝐴 and 𝐵 both follow 𝑋 in the transitive closure of 𝐹, then (for distinct 𝐴 and 𝐵) either 𝐴 follows 𝐵 or 𝐵 follows 𝐴 in the transitive closure of 𝐹 (or both if it loops).
Hyp. ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
Hyp. ⊢ (𝜑 → 𝑋(tc‘𝐹)𝐴)
Hyp. ⊢ (𝜑 → 𝑋(tc‘𝐹)𝐵)
Hyp. ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
Therefore ⊢ (𝜑 → (𝐴(tc‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵(tc‘𝐹)𝐴))
———
So what's nice about the transitive closure that #Frege felt compelled to invent a new language in which to present mathematical arguments? When 𝑅 is a function, two sets being related by the transitive closure of 𝑅 is much like induction. When 𝑅 is a more general relation, we have a more general form of induction, that is truly #ancestral in the language of #Whitehead and #Russell.
Notation guide (adapted from Metamath):
• 𝜑, a metavariable standing for any logical formula, abbreviates the conjunction of all hypotheses listed for a given proposition; writing each line as ⊢ (𝜑 → …) puts the theorem in "deduction form," which can be easier to apply in #Metamath.
• ⊢ 𝜑 asserts that 𝜑 is true; the turnstile is descended from #Frege's own Urteilsstrich (judgment stroke).
• 𝐴𝑅𝐵 means the ordered pair ⟨𝐴, 𝐵⟩ is an element of 𝑅, or we could say 𝐵 immediately follows 𝐴
• 𝐵 = (𝑅‘𝐴) means 𝐵 is the unique set such that 𝐴𝑅𝐵 is true (when such a 𝐵 exists) which means 𝑅 is function-like when restricted to operating on the singleton {𝐴}
• (𝑅”𝐴) is the image of 𝐴
• dom 𝑅 is the domain of 𝑅, the class of all sets 𝑥 such that there is a set 𝑦 that would make 𝑥𝑅𝑦 true.
• Fun 𝑅 is true when 𝑅 is function-like for all sets in its domain.
• ◡𝑅 is the converse of 𝑅 so 𝐴◡𝑅𝐵 iff 𝐵𝑅𝐴
• (tc‘𝑅) is the #TransitiveClosure of 𝑅 (Metamath uses (t+‘𝑅) which can be awkward.) Whitehead and Russell use the term ancestral to describe how 𝐴(tc‘𝑅)𝐵 means 𝐴 is some “ancestor” of 𝐵. Alternately, we can say 𝐵 eventually follows 𝐴.
• V is the universal class, every set is a member, and only sets may be members of any class. After Frege’s later work ran into Russell’s Paradox, it was discovered that not every class {𝑥 | 𝜑} makes sense as a set and so we need the hypothesis ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V) before we can talk about the function value of 𝐴 or the ordered pair ⟨𝐴, 𝐵⟩ being an element of 𝑅. V is not italic because it is a constant symbol, like tc, dom, and Fun.
Begriffsschrift (1879), is one of the first manuscripts on #SymbolicLogic. As such, it literally invents a new language to describe the subjects the author, #GottlobFrege, wants to introduce. And this notation is very unlike what we see in math before or after this.
So I will list some theorems adapted (by me, circa 2020) from #Frege with proper set-theoretical bounds.
In diesem Jahr jährt sich der Todestag von Professor Dr. Friedrich Ludwig Gottlob Frege zum 100. Mal. Der Mathematiker, Logiker und Philosoph, geboren am 8. November 1848 in Wismar, gestorben am 26. Juli 1925 in Bad Kleinen, hat weltweit die Entwicklung der modernen Wissenschaft maßgeblich beeinflusst. Mit seiner revolutionären "Begriffsschrift" hat Frege die Grundlagen für moderne Technik und Computerwissenschaften gelegt. In Fachkreisen wird Gottlob Frege deshalb oft auch "Aristoteles der Neuzeit" genannt. Unter dem Motto "Na logisch! Gottlob Frege 1848-1925" ehrt die Hansestadt Wismar Frege unter anderem mit einer Büste auf dem St.-Marien-Forum. Aus Anlass des 100. Todestages sind 2025 neben einer internationalen Konferenz auch Ausstellungen, Führungen, Vorträge und weitere Veranstaltungen in Wismar vorgesehen. Sonderausstellung im phanTECHNIKUM Den Auftakt bildet eine Sonderausstellung vom 16. Mai bis zum 16. November 2025 im phanTECHNIKUM, Zum Festplatz 3, mit dem Titel "FREGE – Ein immersives MINT-Erlebnis". Das Technische Landesmuseum Mecklenburg-Vorpommern überführt das wissenschaftliche Schaffen Gottlob Freges, insbesondere seine frühen mathematischen Leistungen, ins Heute. Die Sonderausstellung lässt die Besucherinnen und Besucher in die Welt der Zahlen eintauchen und Logik-Anwendung in spielerischen Umgebungen erkunden. Die öffentliche Vernissage ist am 16. Mai 2025 um 18.00 Uhr. Sonderausstellung im SCHABBELL Im Stadtgeschichtlichen Museum SCHABBELL, Schweinsbrücke 6/8, wird vom 27. Juli bis zum 28. September 2025 die Sonderausstellung "Gottlob Frege und die Macht der Logik. Ein Wismarer prägt die moderne Welt" gezeigt. Eröffnung: am 26. Juli 2025 um 11.00 Uhr. Kuratorenführung im SCHABBELL Im Rahmen der Sonderausstellung wird am 5. September 2025 um 19.00 Uhr zur Kuratorenführung "Der wandernde Professor" in das Museum SCHABBELL eingeladen. Frege-Konferenz Eine Frege-Konferenz findet vom 15. bis zum 20. September 2025 an der Hochschule statt. "Marienkino" mit SOKO Wismar-Folge Ein SOKO Wismar-Frege-Spezial wird am 24. September 2025 beim "Marienkino" im St.-Marien-Kirchturm gezeigt. Los geht es um 19.00 und um 20.15 Uhr. Das SOKO-Team ermittelt nach einer Frege-Wanderung, bei der eine Person zu Tode kam. Frege-Wanderung Auf den Spuren von Gottlob Frege durch die Natur und entlang der Ostsee: Am 11. Oktober 2025 beginnt um 10.00 Uhr die traditionelle Frege-Wanderung. Start: Marktplatz in Wismar. Frege-Spaziergänge "Na logisch!" sagen wir, wenn etwas so offensichtlich ist, dass es keinen Widerspruch duldet. Aber woher kommt sie eigentlich, diese Logik? Ist sie eine Erfindung des menschlichen Geistes, ein Werkzeug, um Ordnung in die Welt zu bringen? Oder liegt sie in der Natur selbst, als Fundament aller Dinge? Bei Frege-Spaziergängen durch die Hansestadt Wismar können Interessierte nicht nur malerische Ecken der Stadt erkunden, sondern auch Gottlob Frege als einen der größten Denker unserer Zeit erfahren. Die Tour ist etwa 8 Kilometer lang, ein Spaziergang dauert etwa 2 Stunden. Weitere Infos in der Tourist-Information Wismar, Lübsche Straße. Ausstellung in Bad Kleinen Vom 25. Juli bis zum 6. November 2025 ist in der Alten Post in Bad Kleinen, Gallentiner Chaussee 2 (Tourismusinformation), eine Ausstellung mit dem Titel "Auf Gottlob Freges Spuren" zu sehen. Interessierte können vier Abteilungen erkunden: "Frege in Bad Kleinen (1918 bis 1925)", "Auf den Spuren Freges beim Wandern", "Spurensuche im Frege-Freundeskreis" und "Anschauliche Untersuchungen zu Gottlob Frege: ,Der Gedanke – eine logische Untersuchung‘ (Bad Kleinen 1918)". Terminabsprachen für Führungen sind unter Telefon 0163 7331614 und direkt in der Tourismusinformation in Bad Kleinen möglich. Weitere Veranstaltungen in Wismar, wie zum Beispiel Frege-Stadtführungen, eine Lesung mit einem Frege-Preisträger, spezielle KinderUni-Vorlesungen an der Hochschule und Vorträge unter dem Motto "Familie Frege und ihre Zeit an der Großen Stadtschule", sind in Planung. Hinweis: Die Hansestadt Wismar distanziert sich ausdrücklich von den antisemitischen Ansichten Gottlob Freges, die in seinen Tagebuchaufzeichnungen dokumentiert sind.
You almost can't tell that we were experiencing technical difficulties this AM. Today on #IanAndJaySpaceOut, @jay & I get into "Hubris Maximus", #Signal shenanigans at the Pentagon, Gottlob #Frege, #guillotines, and more!
If recordings aren't your thing you can follow @live and tune in to the next show.
https://archive.org/details/ian-and-jay-space-out-2025-04-27
Jay and Ian celebrate a few anniversaries. Another OPSEC fail by Pete Hegseth. Faiz Siddiqi's new book on Elon's descent into madness. Gottlob Frege's been...
フレーゲによれば、文は〈真〉または〈偽〉の固有名である。固有名は、単称名辞または指示詞（＝個体指示詞）を引数に取る場合は指示対象を、文を引数に取る場合は真偽を返す（単射ではない全射の）写像である。（任意の指示対象に個体指示詞が対応付けられると措くと全射である。）
New from Daily Nous
Frege’s Ambiguous Legacy
by Stephen D’Arcy
"This side of #Frege’s work—his late political thought, which engages eagerly with Germany’s mid-1920s fascist movement—has been politely but in fact irresponsibly ignored for too long by philosophers. The problem is especially acute among analytic philosophers..."
https://dailynous.com/2024/08/15/freges-ambiguous-legacy-guest-post/
"We ought to ask ourselves, how did Frege’s claim to expertise in the matter of thinking fare, at that crucial moment when Germany most needed its intellectuals to rise to the defense of the endangered democratic ideals of civic equality, popular sovereignty and international solidarity? Like Heidegger, Schmitt and many others, Frege failed this test, welcoming
Richard Penner
ULB Münster › FachInfos
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David Löwenstein
