Mastodawn

「$\lambda,m$ の値は特異点解消のやり方を変えても変わらない」ことの証明には広中の特異点解消の証明を知っている必要はありません。

数学者全体の中でも広中の特異点解消定理の証明をフォローしている人は極めて珍しいです。私もフォローしていません。

統計学や学習理論を勉強している人は広中の特異点解消定理の証明をフォローする方向でがんばる必要はないと思います。

応用上はブレブナ基底を用いた特異点解消の具体的な計算の技術の方がおそらく大事なんだと思います。

$\lambda,m$ が特異点解消の選び方によらないことは定義より自明だと思います。

だから、追加で読まなければいけない数学の本は0冊です。

特異点解消は有理的な座標変換の一種です。

$\lambda,m$ はある種の積分で定義された量(自由エネルギー)の漸近挙動で定義されます。

そのある種の積分をどの座標で行っても、その積分の値自体が変わるわけではありません。

だから、$\lambda,m$ は座標によらない量だということになります。

超絶非自明なのは $\lambda,m$ が well-defined なことです。

なぜならばそれらが well-defined であることを証明するため広中の特異点解消が本質的に使われているからです。

2次元の定曲率の幾何は局所的に

球面の非ユークリッド幾何

平面のユークリッド幾何

単位円盤もしくは上半平面の非ユークリッド幾何(負定曲率のいつもの計量を入れておく)

のどれかと同型になります。すなわち、普遍被覆(←これは基本群について習ったときに学ぶ決定的に極めて重要な概念、基本群と被覆空間の理論はGalois理論の一種！)はこれらのどれかになる。

平面を格子で割って得られるトーラスが楕円曲線です。

一般にコンパクトRiemann面は複素代数曲線になるので、代数幾何とも繋がります。

余談：2次元の場合の曲率の概念の整備はGaussさんがやってくれました。

昔風の曲面論について学べば、第一基本形式、第二基本形式、平均曲率とGauss曲率についてやって、Gauss曲率が第一基本形式(のちにRiemann計量と呼ばれるようになるもの)だけで書けること(Gauss驚愕の定理)を学びます。そして単に曲率と言えばGauss曲率を意味するようになる。

多くの数学が以上で述べたような2次元のケースの一般化になっています。

すでに石井志保子さんの著書『特異点入門』の英語版が紹介されているようですが、日本語版では定理3.2.4(Artinの代数化定理)が英語版のTh.4.2.4と同じ定理です。

そこで引用されている[A5]は次の場所からダウンロードできます。

添付画像は引用されている[A5, Theorem 3.8]が書いてあるページです。

#mathAG 代数幾何
………
#mathPR 確率論
#mathQA 量子代数
#mathRT 表現論
………
#mathST 統計学理論
……

てな感じにすれば機械的にタグを付けられるかな。

もっと良い方法があるかな？