#probability #randomwalks

コイン投げのランダムウォークは単純ランダムウォークと呼ばれているようです。

その場合にはすべてをexplicitに計算することによって結果を出せます。

しかもそのとき使われる組み合わせ論的議論が結構面白い。

単純ランダムウォークの逆正弦法則についての、極めてテキトーなまとめが

https://genkuroki.github.io/documents/#2016-11-02

にあります。

お絵描き＋Wallisの公式で逆正弦法則を容易に示せます。

高校数学でよくある経路の本数を数える問題のちょっとした一般化に過ぎません。

高校数学の範囲内で手を出せるぎりぎりの話になっていると思います。

高校生あたりで、きちんと経路の有限集合間の一対一対応を作る議論とWallisの公式の証明をフォローして逆正弦法則を示し、コンピューターでのモンテカルロシミュレーションでも確認するというようなことをできれば、数学関係の能力的には一生困らないんじゃないかな？

#probability #randomwalks

https://genkuroki.github.io/documents/20161109GeneralRandomWalks.pdf
一般のランダムウォークに関する母函数の計算

ナマの画像じゃなくてPDF化したものを公開しました。

1ステップの移動を独立同分布な確率変数列 $X_k$ 達で行なうランダムウォーク$$
S_n = X_1+\cdots+X_n
$$の最も簡単な例はコインを投げで表なら $X_k=1$、裏なら $X_n=-1$ とすることです。

上の手書きのノートはこの $X_k$ が(ゆるい条件のもとで)任意の場合を扱っています。

サイコロをふって1,2が出たら $X_k=1$ とし、3,4,5,6が出たら $X_k=-1$ としてもよい。

もちろん、$[a,b]$ 上の一様分布でもよいし、正規分布でもよい。

ずーっと正のままでいる確率について細かい設定によらない一般的な公式を便利な母函数表示の形で作れるという話です。

母函数表示が便利なのはタウバー型定理が標準装備として普及しているから。