#quantum #dilogarithm

quantum dilogarithm はある意味で $yx=qxy$ と非可換になった場合の $\exp$ であることについては

https://mathtod.online/@genkuroki/349635

に解説を書きました。がんばって計算すれば高校レベルの数学でも理解できるように解説したつもりです。

この手の話で重要なのは、パラメーターが増えている話の方が「偉い」ことです。パラメーターが適切にかつ非自明な形で増えると、その背景に新しい数学の世界が(演繹的にではなく)帰納的に見えて来ます。

安易にパラメーターを増やしても単に計算を複雑にするだけで何も新しいことは出て来ないことがよくある。

面白い数学をやりたければそういうことになるリスクを避けるためにきちんと既存の理論的な数学を勉強しなければいけなくなります。

そういう勉強をせずに計算だけをしてもダメ。理論的な数学を勉強するだけで試行錯誤が必要な計算をしないのもダメ。

#dilogarithm #polylogarithm #quantum

dilog.は古典版と量子版がともに「壁越え公式」に登場し、かなり研究されています。

polylogarithmの定義は$$
\operatorname{Li}_r(x)
=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^r}{n^r}.
$$仮にquantum polylogarithmを$$
E_r(x)=\left[\prod_{k_1,\ldots,k_r=0}^\infty(1-xq_1^{k_1}\cdots q_r^{k_r})\right]^{-1}
$$と定めると、対数のTaylor展開と等比級数の和を使って$$
\prod_{i=1}^r(1-q_i)\cdot\log E_r(x)
=\sum_{n=1}^\infty
\frac{x^n}{n\prod_{i=1}^r(n)_{q_i}}.
$$右辺は $q_i\to1$ で $\operatorname{Li}_{r+1}(x)$ に収束します。