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その辺の話はqauntum dilogarithmの話を知っていると色々楽しみがありそうなことがわかります。
$e^{2\pi i\omega}$ の類を $q$ と1文字で書くことにします。
通常のdilogarithmの定義は$$
\operatorname{Li}_2(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n^2}.
$$quantum dilogarithm の定義は細かいことを無視すれば$$
E(x)=\frac1{\prod_{k=0}^\infty(1-xq^k)}.
$$これらの関係は$$
(1-q)\log E(x)
=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^2}{n(n)_q}
$$から得られます。ここで$$
(n)_q = \frac{1-q^n}{1-q}
$$で、これは $q$-number と呼ばれています。$q\to1$で$(n)_q\to
n$ です。続く
#dilogarithm #polylogarithm #quantum
dilog.は古典版と量子版がともに「壁越え公式」に登場し、かなり研究されています。
polylogarithmの定義は$$
\operatorname{Li}_r(x)
=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^r}{n^r}.
$$仮にquantum polylogarithmを$$
E_r(x)=\left[\prod_{k_1,\ldots,k_r=0}^\infty(1-xq_1^{k_1}\cdots q_r^{k_r})\right]^{-1}
$$と定めると、対数のTaylor展開と等比級数の和を使って$$
\prod_{i=1}^r(1-q_i)\cdot\log E_r(x)
=\sum_{n=1}^\infty
\frac{x^n}{n\prod_{i=1}^r(n)_{q_i}}.
$$右辺は $q_i\to1$ で $\operatorname{Li}_{r+1}(x)$ に収束します。
#quantum #polylogarithm #bilateral #multiple #zeta
で、件の bilateral multiple zeta は
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/insei/proceeding/2010/shibukawa2.pdf
の(3.12)によれば、特定の条件化で$$
\frac1{\prod_{i=1}^n(1-q_i)}
\frac{(-2\pi i)^s}{\Gamma(s)}
\sum_{n=1}^\infty\frac{n^sx^n}{n\prod_{i=1}^r(n)_{q_i}}
$$と書ける。これは上の $\log E_r(x)$ のパラメーター $s$ による一般化になっています。
#quantum #polylogarithm #mcmahon
McMahon函数 $$
M(q)=\frac1{\prod_{n=1}^\infty(1-q^n)^n}
$$は上の方の記号では$$
M(q)=E_2(q)|_{q_1=q_2=q}
$$なので$$
(1-q)^2\log M(q)
=\sum_{n=1}^\infty\frac{q^n}{n(n)_q^2}
$$となります。右辺は $q\to1$ で $\zeta(3)$ に収束します。
quantum dilogarithm はある意味で $yx=qxy$ と非可換になった場合の $\exp$ であることについては
https://mathtod.online/@genkuroki/349635
に解説を書きました。がんばって計算すれば高校レベルの数学でも理解できるように解説したつもりです。
この手の話で重要なのは、パラメーターが増えている話の方が「偉い」ことです。パラメーターが適切にかつ非自明な形で増えると、その背景に新しい数学の世界が(演繹的にではなく)帰納的に見えて来ます。
安易にパラメーターを増やしても単に計算を複雑にするだけで何も新しいことは出て来ないことがよくある。
面白い数学をやりたければそういうことになるリスクを避けるためにきちんと既存の理論的な数学を勉強しなければいけなくなります。
そういう勉強をせずに計算だけをしてもダメ。理論的な数学を勉強するだけで試行錯誤が必要な計算をしないのもダメ。
黒木玄 Gen Kuroki