Antes que nada quiero recordaros dos cosas.

1). La primera regla del álgebra: el igual es sagrado. Lo que significa que toda operación que haga a un lado del igual debo hacerla al otro lado para mantener la igualdad.

2). Las identidades notables existen. Específicamente me interesa aquella que dice que (A + B)² = A² + 2AB + B² (esa también se deduce, relativamente fácil, multiplicando A por A+B, luego B por A+B, y luego sumando ambos resultados.

Con estos dos conceptos claros, procedemos.

Empezamos con nuestra ecuación de segundo grado estándar. Si empiezas con una distinta tendrás que arreglar los términos para terminar con algo como esto. Si falta alguno de los componentes (b o c) hay métodos más sencillos que podemos ver otro día. Hoy resolvemos una completa.

ax² + bx + c = 0

1º Tengamos siempre en mente que queremos despejar la x, así que en primer lugar, restamos el término independiente “c” a ambos lados del igual.

ax² + bx = -c

2º. Vamos a buscar la identidad notable, lo que significa que necesitamos un cuadrado perfecto en el primer término, un cuadrado perfecto en el tercer término, y el doble de la suma de las raíces de esos cuadrados en el del medio (esto es, A² + 2AB + B² ).

Así que multiplicamos por “4a” a toda la ecuación para lograr el cuadrado perfecto del primer término y sumamos “b²” para conseguir el tercero. Como siempre, cada cambio se hace idéntico en cada lado del igual.

4a²x² + 4abx = -4ac

4a²x² + 4abx + b² = b² - 4ac

Hacemos un arreglillo al primer y segundo término para definir la identidad notable. Solo es un cambio de aspecto, no hay cuentas aquí.

(2ax)² + 2•(2ax)•b + b² = b² - 4ac

3º. Recordemos la identidad notable A² + 2AB + B² = (A + B)² . En nuestra ecuación, la “A” de la identidad notable es 2ax y la “B” de la identidad notable es b. Así que la transformamos.

(2ax + b)² = b² - 4ac

4º. Vamos a deshacer el cuadrado metiendo una raíz cuadrada en ambos lados de la igualdad. Recordad que la solución de una raíz par es ambigua (más y menos a la vez)

2ax + b = ±√(b² - 4ac)

5º. Recordemos que nuestra misión es despejar la x, así que restaremos b en ambos lados.

2ax = -b ± √(b² - 4ac)

6º. Y terminamos de despejar la x dividiendo por 2a en ambos lados. Et voilà.

x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)