Quim Testar272. Per exemple, la suma del conjunt A = {2, 3, 5} segons aquesta definició seria:
∑{2, 3, 5} = ∑(2, 3, 5) = ∑(2, 3) + 5 = (∑(2) +3) +5 = ((∑( ) + 2) + 3) + 5 = ((0 + 2) + 3) + 5 = 10
273. Com que la suma té les propietats algebraiques commutativa: a + b = b + a i associativa: (a + b) + c = a + (b + c) l'ordre en que arrangem els elements del conjunt A no altera el resultat del total de la suma. Tant ens fa fer (2 + 3) + 5 com (5 + 2) + 3. L'únic rellevant és quins són els elements que formen part de A, que en tant que conjunt no té ordre.
274. Però com podem definir la suma si el conjunt A és infinit? No podem aplicar la definició que hem donat a seqüències infinites perquè en el cas general aquesta fa ús de l'element final aₙ de la seqüència. I una seqüència infinita no té element final, segueix indefinidament.
275. Si ens fixem en el desenvolupament del cas finit, el que fem és calcular les sumes de les subseqüències inicials començant pel cas trivial ∑( ) = 0 i hi anem afegint l'element successiu fins a acabar. Anem a anomenar sᵢ a aquesta seqüència de sumes parcials. Tindrem:
s₀ = ∑( ) = 0
s₁ = ∑(a₀) = ∑( ) + a₀ = s₀ + a₀ = 0 + a₀ = a₀
s₂ = ∑(a₀, a₁) = ∑(a₀) + a₁ = s₁ + a₁ = a₀ + a₁
s₃ = ∑(a₀, a₁, a₂) = ∑(a₀, a₁) + a₂ = s₂ + a₂ = a₀ + a₁ + a₂
…
sₙ₊₁ = ∑(a₀, a₁, … , aₙ) = sₙ + aₙ = a₀ + a₁ + … + aₙ
276. Amb un A finit la suma ∑A correspondria exactament a s_|A| . Amb A infinit, però, aquesta seqüència sₙ seguirà indefinidament sense tenir cap final i no podrem dir en cap moment que ja haguem sumat tots els elements de A.
277. I no obstant, nosaltres seguim volent trobar aquest «final» de sₙ, cap a on s'està dirigint. D'aquest concepte se'n diu _límit_ i és el fonament d'algunes de les branques més importants de la matemàtica com el càlcul infinitesimal i l'anàlisi.
278. Si recordem el cas particular que ens ocupa i del que potser ja ens hem anat apartant una mica massa, els elements que estem intentant sumar eren tots nombres racionals de la forma 1/10^k, és a dir, tots ells nombres positius. Això vol dir que cada element de la seqüència de sumes parcials tindrà un valor més gran que l'anterior donat que si sᵢ₊₁ = sᵢ + aᵢ i aᵢ > 0 aleshores sᵢ₊₁ > sᵢ.
279. Això vol dir que aquell valor límit cap al que ens dirigim també ha de ser més gran que tots i cadascun dels infinits sᵢ. I alhora de tots els nombres que són més grans que tots i cadascun dels infinits sᵢ serà el més petit. Aquest concepte ja el coneixem i es diu suprem. Recordem que el suprem d'un conjunt infinit de nombres racionals és un nombre real que pot ser irracional. Això és el que ens passarà per exemple amb el conjunt de nombres primers tal com havíem vist.
280. I amb això ja tenim definida d'una manera fonamentada la funció f: 2^ℕ → ℝ, f(X) = ∑{1/10^n ∣ n ∈ X} que té la propietat de no col·lisionar en el mateix nombre real de sortida amb cap parell de conjunts d'entrada diferents. Dit d'una altra manera, és una bijecció entre els conjunts de conjunts de nombres naturals i un cert subconjunt dels nombres reals.
281. I existint aquesta bijecció, podem donar per fet que |2^ℕ| ≤ |ℝ|. I com que alhora havíem vist abans que |ℝ| ≤ |2^ℕ|, doncs aleshores |ℝ| = |2^ℕ| com volíem demostrar. El conjunt dels reals té la mateixa cardinalitat que el conjunt potència dels naturals.
282. Aquest fet i particularment la desigualtat |ℕ| < |ℝ| que se'n deriva té conseqüències profundes que van més enllà de la matemàtica.
283. Per una banda el món físic en el que vivim immersos se'ns presenta en formes que gairebé sempre inclouen directa o indirectament nombres reals. O potser més ben dit, aquella noció de línia recta formada per una continuïtat de punts que ens ha creat la necessitat de descobrir-los.
284. La distància que separa dos punts de l'espai físic (tal com la percebem) és un nombre real, el temps que transcorre entre dos esdeveniments (tal com els percebem) és un nombre real. Les variables dels models que creem per representar el comportament de qualsevol sistema físic gairebé sempre són nombres reals o derivats.
285. Per altra banda, els llenguatges que som capaços de crear nosaltres per descriure'ns i discórrer sobre el món són en darrer terme encadenaments de conjunts finits de símbols. I com a tals el conjunt de discursos que podem generar amb ells està limitat a la cardinalitat de ℕ.
286. Dit d'una altra manera, podríem establir una bijecció entre tots els infinits llibres que podrien arribar a ser escrits en qualsevol llengua sobre qualsevol cosa i els nombres naturals, simplement codificant el text en forma de dígits.
287. I això inclou el llenguatge natural, qualsevol notació matemàtica formal, els llenguatges formals amb els que programem ordinadors i representem les seves dades, la manera com especifiquem els plànols per construir una màquina, etcètera.
288. Res d'això ens serveix per tractar adequadament amb la totalitat del conjunt dels nombres reals i per extensió amb la realitat tal com la percebem. Senzillament hi ha massa teca.
289. Sovint ens conformem treballant amb un subconjunt numerable i aproximacions més o menys bones de la cosa real. En computació això vindria a ser el que es diu l'aritmètica de punt flotant.
290. Recapitulem una mica. Hem estat veient que hi ha conjunts finits, que per definició són equipotents amb un nombre natural, o sigui un element de ℕ.
291. I després que hi ha una família de conjunts infinits que són equipotents amb ℕ com ℤ o ℚ. D'aquesta mena de conjunts en diem «numerables».
292. Però també hi ha uns altres conjunts com ℝ que són equipotents amb 2^ℕ i per tant estrictament més grans. I després conjunts encara més i més estrictament grans que podem anar construint tot aplicant l'operació de potència de conjunts als conjunts que ja tinguem.
293. El que no sabem és si existeixen altres cardinalitats intermèdies en aquesta jerarquia de conjunts infinits.
294. És a dir: existeix algun conjunt X infinit tal que |X| < |ℕ|? I algun Y tal que |ℕ| < |Y| < |ℝ|?
295. La primera qüestió és força assequible si partim de la definició d'infinitat de Dedekind que vam veure (v. 97).
296. Suposem un conjunt X que és Dedekind-infinit. És a dir, que existeix un subconjunt propi A ⊊ X i una bijecció f entre X i A.
297. Com que X ≠ A, ha d’existir almenys un x₀ ∈ X \ A. Un element de X que no sigui alhora element de A.
298. Com que el codomini de f és A, f(x₀) ∈ A i per tant ha de ser diferent que x₀. En direm x₁ = f(x₀).
299. De la mateixa manera, farem x₂ = f(x₁) = f(f(x₀)). Aquest x₂ ha de ser diferent que x₀ pel mateix motiu que abans. I tampoc pot ser igual a x₁ perquè, donat que f és una bijecció:
x₂ = x₁ ⇒ f(x₁) = f(x₀) ⇒ x₁ = x₀
…i ja hem vist abans que això és fals, que x₁ ≠ x₀.
303. Cantor va anomenar a aquesta proposició la _«hipòtesi del continu»_ i va dedicar anys a intentar demostrar-la. No ho va aconseguir i es va quedar com una de les qüestions matemàtiques obertes per resoldre de cara al segle XX.
304. Anteriorment hem parlat de la incompletesa dels sistemes axiomàtics que va demostrar Gödel (v.38): qualsevol sistema axiomàtic que sigui consistent i que abasti l'aritmètica bàsica tindrà qüestions que no s'hi podran demostrar ni refutar.
305. Doncs bé, el mateix Gödel va contribuir a demostrar que aquest és el cas de la hipòtesi del continu en el sistema axiomàtic ZFC. Però la prova completa d'això no va arribar fins als anys 60 del segle XX. Normal que el pobre Cantor no se'n sortís.
306. Això vol dir que ZFC no ens respondrà si existeix o no una cardinalitat que estigui entre ℕ i ℝ però que si tenim moltes ganes que no existeixi podem introduir la seva inexistència com a axioma i fer el nou sistema axiomàtic ZFC+CH (de continuum hypothesis), que seria tant consistent com ho és ZFC.
307. I si, en canvi, tenim moltes ganes que existeixi podem fer el sistema axiomàtic ZFC+¬CH i també serà tant consistent com ZFC.
308. Una altra manera d'entendre això és pensar que en el món intel·ligible existeixen dos ens abstractes separats als que podem anomenar indistintament «conjunts», que ZFC és una teoria que descriu ambdues de manera ambigua i que la introducció de CH o de ¬CH a la teoria desfà l'ambigüitat en un sentit o un altre.
309. Això ja depèn molt de si adoptem una postura filosòfica formalista o realista respecte la naturalesa última de la matemàtica i els seus objectes. Però jo no em veig pas capacitat per parlar de filosofia de les matemàtiques. És un tema us el deixaré a vosaltres.
310. Com ja vam dir, la tria entre un sistema axiomàtic i un altre que se suposin consistents és una pura qüestió de conveni. En el cas de la hipòtesi del continu no ha calgut establir cap conveni perquè resulta que ara com ara no hi ha grans qüestions matemàtiques que en depenguin.
311. Si algun dia hom topa amb alguna gran conjectura que necessita de la hipòtesi del continu (o de la seva negació) per ser demostrada i es decideix que convé que aquesta conjectura es doni per certa dins de la matemàtica estàndard, doncs possiblement es revisi aquest conveni i deixarem de fer servir ZFC en favor de ZFC+CH (o ZFC+¬CH).
312. De fet, això vindria a ser el que succeí amb el darrer axioma que ens falta, l'axioma de l'elecció.
313. Es va trobar que era independent del sistema axiomàtic format pel conjunt d'axiomes que hem vist fins ara, ZF, i va resultar que és necessari per sostenir part de la matemàtica que es va considerar que és desitjable que sigui sostinguda.
314. Tot això amb certa controvèrsia; a alguns matemàtics aquest axioma els semblava molt rebuscat i poc auto-evident, característiques que són poc desitjables en un axioma.
315. Per altra banda, aquest axioma el necessitem per demostrar coses tant aparentment òbvies com que si tenim dos conjunts qualssevol A i B , és el cas que |A| ≤ |B| o bé |A| ≥ |B|. I aquest teorema (la totalitat en l'ordre de les cardinalitats) alhora el volem per a demostrar moltes altres coses.
316. Diu l'_axioma de l'elecció_ que si tenim un conjunt X de conjunts no buits, existeix una funció f tal que per a tota A ∈ X, f(A) ∈ A.
317. És a dir, que la funció f elegeix un element per cada conjunt dels que formen X. Si ens restringíssim a conjunts finits, podríem construir aquesta funció fent servir l'axioma de l'infinit a través de la inducció matemàtica i no ens caldria un axioma especial per tenir-la.
318. Però en el cas de X infinites, necessitem assegurar l'existència de la funció de tria amb l'axioma de l'elecció.
319. No obstant, de la mateixa manera que amb l'axioma de l'elecció podem demostrar teoremes que intuïm intensament com a veritat i per tant en volem poder fer una demostració, també ens porta a resultats que són fortament antiintuïtius.
320. Un d'aquests resultats que és especialment vistós és la paradoxa de Banach-Tarski.
321. Suposem que tenim una bola en l'espai de tres dimensions habitual. És a dir, el volum d'espai sòlid que està tancat dins d'una esfera.
322. Diu aquest teorema que és possible dividir aquest sòlid tallant-lo en un conjunt finit de trossos (en cinc parts, es pot arribar a fer) de manera que llavors es poden prendre aquests trossos i fent-los només desplaçaments i rotacions rígides com si fos un puzle acabar muntant dues boles separades cadascuna d'elles exactament idèntica a la bola original.
323. Com deia això contradiu fortament la nostra intuïció degut a la nostra experiència física tallant i rearmant sòlids a l'espai, i per això se'n diu «paradoxa».
324. Però és un resultat matemàtic perfectament vàlid i consistent a partir de l'axioma de l'elecció. No és una paradoxa en el sentit que ho era la de Russell que invalidava tota la matemàtica i s'havia de refundar de nou. És només un teorema «estrany».
325.1 La matèria física que ens envolta no la podem duplicar màgicament com les boles matemàticament idealitzades d'aquest teorema perquè d'entrada els talls que hem de fer són d'una delicadesa infinita (hauríem de separar la substància com aquell qui diu «punt a punt») i la substància de les boles de billar a partir d'una certa escala microscòpica comença a fer coses que s'aparten de l'ideal d'espai tridimensional del que parteix el teorema.
325.2 Quan ens trobem coses com les partícules elementals i la física quàntica la idealitat contínua d'un espai euclidià ple d'una substància igualment contínua deixa de ser aplicable.
326. Respecte a la demostració en si, són matemàtiques massa avançades i jo no em veig capacitat per exposar-vos-la però aquest youtuber atabalat en fa un esbós que em sembla que està bastant bé: https://youtu.be/s86-Z-CbaHA.
The Banach–Tarski Paradox
327. Una altra cosa menys marciana i més concordant amb la nostra intuïció de les coses que podem demostrar a partir de l'axioma de l'elecció (i sense ell no) és l'equivalència entre la definició estàndard d'infinit i la de Dedekind.
328. Havíem comentat en el seu moment que no es pren la de Dedekind com a definició estàndard del concepte d'infinit perquè fer-ho ens obligaria a fer servir massa aquest axioma i això no ens interessa.
329. Empalmant aquesta equivalència amb el que hem demostrat abans sobre que ℕ és més petit o igual que qualsevol conjunt Dedekind-infinit tindríem que també ho és que qualsevol conjunt infinit «a seques».
330.1. I amb això acabem l'exposició de la teoria de conjunts ZFC, que és en el que es fonamenten les matemàtiques «estàndard»: quan no ens trobem explorant els fonaments mateixos de les matemàtiques o se'ns indica el contrari explícitament, els teoremes que trobem en qualsevol text matemàtic són (es pretén que siguin, si més no) en darrer terme conseqüències lògiques estrictes dels nou axiomes de teoria de conjunts que hem explicat:
330.2.
*) Extensionalitat (v. 57).
*) Emparellament (v. 64).
*) Unió (v. 72).
*) Infinit (v. 81).
*) Especificació (v. 112).
*) Regularitat (v. 125).
*) Reemplaçament (v. 138).
*) Potència (v. 159).
*) Elecció (v. 316).
*) Extensionalitat (v. 57).
*) Emparellament (v. 64).
*) Unió (v. 72).
*) Infinit (v. 81).
*) Especificació (v. 112).
*) Regularitat (v. 125).
*) Reemplaçament (v. 138).
*) Potència (v. 159).
*) Elecció (v. 316).
Àurea@poliedres així de lluny i sense ulleres sembla un cul
@tanguesvoladors No n'he vist de tant estriats.