244. Un tall de Dedekind és un conjunt de racionals A tal que:
*) No és buit. Existeix com a mínim un p ∈ A.
*) No és igual al conjunt de tots els racionals. Existeix com a mínim un p ∈ ℚ ∖ A; és a dir, un p ∈ ℚ i que a més p ∉ A.
*) Si p ∈ A, aleshores per a tot q < p també q ∈ A.
*) Si p ∈ A, aleshores existeix com a mínim un q > p que també q ∈ A.
245. Un tall de Dedekind vindria a ser doncs una partició dels racionals en dues parts no buides: els que estan per sota d'un determinat llindar (A) i els que estan per sobre (ℚ ∖ A) i amb unes característiques particulars en la frontera d'aquesta divisió.
246. Fixem-nos ara en les característiques que té la relació ⊆ respecte als conjunts que són talls de Dedekind.
247. Les tres primeres característiques del que hem definit com a ordre total (reflexivitat, transitivitat i antisimetria) la relació de subconjunt inclusiu ⊆ les té respecte a qualsevol mena de conjunt. D'això se'n diu ser un _ordre parcial_.
248. A més, amb els talls de Dedekind en particular, ⊆ complirà la propietat de la totalitat a causa del tercer punt de la definició i que la relació ≤ entre racionals és un ordre total. Per tant, la relació ⊆ és un ordre total del conjunt de talls de Dedekind.
249. Com que ⊆ és total, donats dos talls de Dedekind diferents A ≠ B s'ha de donar que A ⊊ B o bé que B ⊊ A . Suposem sense perdre generalitat que el cas és A ⊊ B. Això és: A és un subconjunt propi de B. Tots els elements de A són element de B però existeix algun element de B que no és element de A . Anem a anomenar p a aquest element.
250. Per la propietat quarta dels talls de Dedekind, existeix un q > p que també q ∈ B. Aquest q el farem servir per definir un nou tall de Dedekind C format per a tots els nombres racionals r tals que r < q.
251. Es pot comprovar que aquest conjunt C tal com l'hem definit té efectivament totes les propietats que defineixen un tall de Dedekind i que a més es dona que A ⊊ C ⊊ B. Per tant els talls de Dedekind són densos respecte la relació d'ordre ⊆.
252. Suposem ara que tenim un conjunt no buit de talls de Dedekind Γ = {A₀, A₁, A₂, A₃, … } que pot ser infinit però es dona el cas que existeix un altre tall de Dedekind C tal que per a tot A ∈ Γ, A ⊆ C. És a dir, C és una cota superior de Γ i per tant Γ és acotat.
253. Si apliquem a Γ l'axioma de la unió (v. 72), podrem comprovar que:
*) ⋃Γ és un tall de Dedekind perquè compleix les propietats amb les que els hem definit.
*) ⋃Γ és una cota superior de Γ: per a tot A ∈ Γ, A ⊆ ⋃Γ.
*) De totes les cotes superiors C que pot tenir Γ, resulta que ⋃Γ ⊆ C.
És a dir, que ⋃Γ és la mínima de totes les cotes superiors de Γ respecte la relació d'ordre ⊆. El que per definició és el valor suprem de Γ.
254. Per tant, els talls de Dedekind amb la relació ⊆ tenen totes les propietats necessàries per a ser considerats un continu, i és el que farem servir per a representar els nombres reals en la teoria de conjunts; el real representat és el valor suprem de tots els nombres racionals que conformen el tall o bé la frontera de la partició de ℚ.
255. Això vol dir que el nombre real 3 de fet el podem veure en teoria de conjunts com el conjunt de tots els nombres racionals que són estrictament més petits que 3. I el nombre real √2 com tots els nombres racionals que són estrictament més petits que √2.
256. I qualsevol tractament matemàtic que es faci amb ells es pot fer en darrera instància amb teoremes i operacions de teoria de conjunts estrictament. En aquest sentit, tot aquell fato dels límits, derivades, integrals i la resta de l'estudi dels nombres reals que es fa en el càlcul infinitesimal és només un branca de la teoria de conjunts. Molt gros.
257. En notació, del conjunt dels nombres reals en diem ℝ. Com que els representem fent servir conjunts de racionals la seva cardinalitat ha de ser com a màxim la del conjunt dels conjunts de racionals, o sia |ℝ| ≤ |2^ℚ|. I com que sabem de quan hem estudiat la cardinalitat dels racionals que |ℚ| = |ℕ|, doncs és clar que |ℝ| ≤ |2^ℕ|.
258. Per a veure que alhora |2^ℕ| ≤ |ℝ| ens caldrà una funció injectiva f: 2^ℕ → ℝ, és a dir una bijecció entre 2^ℕ (el conjunt dels conjunts de naturals) i algun subconjunt de ℝ.
259. Anem doncs a construir aquesta bijecció. Suposem un element del conjunt de sortida X ∈ 2^ℕ. En tant que element de 2^ℕ aquest X serà un subconjunt dels nombres naturals, és a dir que X ⊆ ℕ.
260. Aplicant l'axioma de reemplaçament sobre aquest X amb la funció g: ℕ → ℚ tal que g(n) = 1/10^n, obtindrem un g(X) que serà un subconjunt dels nombres racionals. A continuació d'aquest subconjunt en farem el sumatori. O sia que f(X) = ∑g(X) = ∑{ 1/10^n ∣ n ∈ X }.
261. Per exemple:
f({ 0, 1 }) = ∑{ 1/10^0, 1/10^1 } = ∑{ 1, 1/10 } = 1 + 1/10 = 1 + 0.1 = 1.1
f({ 2, 3, 5 }) = ∑{ 1/10^2, 1/10^3, 1/10^5 } = 0.01101
f(∅) = ∑∅ = 0
262.1. El resultat és doncs, si més no en aquests exemples finits, un nombre racional entre 0 i 2 que en la seva representació decimal té un dígit 1 en la posició n si resulta que n ∈ X i un 0 en cas contrari.
262.2. Donat això és força clar que per a dos conjunts diferents la funció f ens donarà nombres diferents, ja que la seva representació decimal haurà de diferir en com a mínim una posició, aquella que correspongui al com a mínim un element que ha de pertànyer a un dels dos conjunts i no pertànyer a l'altre, si és que són realment diferents.
263. Amb això tindríem ja definida una bijecció de com a mínim tots els subconjunts _finits_ de ℕ cap a un cert subconjunt de ℝ. Però necessitem tractar _tots_ els subconjunts de ℕ, també els que són infinits com ara el conjunt de nombres parells { 0, 2, 4, 6, 8, … }, el conjunt de nombres primers { 2, 3, 5, 7, 11, … } o el mateix conjunt ℕ.
264. Amb conjunts infinits de fet ens val la mateixa funció f:
f({ 0, 2, 4, 6, 8, … }) = ∑{ 1/10^0, 1/10^2, 1/10^4, … } = 1.010101… = 1 + 1/99
f({ 2, 3, 5, 7, 11, … }) = ∑{ 1/10^2, 1/10^3, 1/10^5, … } = 1.0110101001…
f(ℕ) = f({ 0, 1, 2, 3, … }) = ∑{ 1/10^0, 1/10^1, 1/10^2, … } = 1.11111… = 1 + 1/9 = 10/9
265. En alguns (molts, de fet, gairebé tots) casos de conjunts infinits de naturals com aquest anterior dels nombres primers el resultat de la funció f serà un nombre irracional (tot i que real). Cosa que ja podíem preveure donat que hem demostrat amb la diagonalització de Cantor que |2^ℕ| > |ℕ| = |ℚ|; no pot existir cap bijecció entre el conjunt de conjunts de naturals i el conjunt de racionals o un subconjunt seu.
266. Tanmateix tenim un problema amb això que és fer el sumatori d'un conjunt infinit de nombres. De fet ni tant sols hem definit exactament què vol dir fer el sumatori d'un conjunt finit de nombres. Intuïtivament sembla bastant clar què és el que vol dir però per fer les coses de manera ben fonamentada i rigorosa hauríem de definir-ho.
267. Quan hem parlat de la funció suma l'hem vist com una operació _binària_ interna dels nombres naturals, és a dir, que actua sobre parells de nombres, no sobre conjunts. I a més ara necessitem una funció suma pels nombres racionals, no els naturals.
268.1. La resposta a això darrer és una qüestió de definició. Es tracta de definir una funció suma que sigui consistent amb la suma de naturals que ja hem definit, amb les propietats algebraiques que volem que tingui, i amb la nostra visió intuïtiva de l'ajuntament de les quantitats que representen els nombres racionals.
268.2. La suma de nombres enters a partir de la de naturals es defineix així: (a - b) + (c - d) = (a + c) - (b + d) i la suma de nombres racionals a partir de la d'enters així: a/b + c/d = (a·d + b·c) / (b·d).
269. Però a on anàvem és al tema de sumar conjunts de nombres. Què volem dir quan diem ∑A on A és un conjunt de nombres de la mena que sigui?
270. Si arrangem els elements del conjunt A en forma de seqüència ordenada així com (a₀, a₁, a₂, …) podem definir una suma acumulada d'una manera recursiva sobre la seqüència d'aquesta manera:
∑( ) = 0
∑(a₀, a₁, a₂, …, aₙ₋₁, aₙ) = ∑(a₀, a₁, a₂, …, aₙ₋₁) + aₙ
271. Per a un conjunt A = {a₀, a₁, a₂, …, aₙ₋₁} finit on |A| = n podríem definir la seva suma talment com:
∑A = ∑{a₀, a₁, a₂, …, aₙ₋₁} = ∑(a₀, a₁, a₂, …, aₙ₋₁)
272. Per exemple, la suma del conjunt A = {2, 3, 5} segons aquesta definició seria:
∑{2, 3, 5} = ∑(2, 3, 5) = ∑(2, 3) + 5 = (∑(2) +3) +5 = ((∑( ) + 2) + 3) + 5 = ((0 + 2) + 3) + 5 = 10
273. Com que la suma té les propietats algebraiques commutativa: a + b = b + a i associativa: (a + b) + c = a + (b + c) l'ordre en que arrangem els elements del conjunt A no altera el resultat del total de la suma. Tant ens fa fer (2 + 3) + 5 com (5 + 2) + 3. L'únic rellevant és quins són els elements que formen part de A, que en tant que conjunt no té ordre.
274. Però com podem definir la suma si el conjunt A és infinit? No podem aplicar la definició que hem donat a seqüències infinites perquè en el cas general aquesta fa ús de l'element final aₙ de la seqüència. I una seqüència infinita no té element final, segueix indefinidament.
275. Si ens fixem en el desenvolupament del cas finit, el que fem és calcular les sumes de les subseqüències inicials començant pel cas trivial ∑( ) = 0 i hi anem afegint l'element successiu fins a acabar. Anem a anomenar sᵢ a aquesta seqüència de sumes parcials. Tindrem:
s₀ = ∑( ) = 0
s₁ = ∑(a₀) = ∑( ) + a₀ = s₀ + a₀ = 0 + a₀ = a₀
s₂ = ∑(a₀, a₁) = ∑(a₀) + a₁ = s₁ + a₁ = a₀ + a₁
s₃ = ∑(a₀, a₁, a₂) = ∑(a₀, a₁) + a₂ = s₂ + a₂ = a₀ + a₁ + a₂
…
sₙ₊₁ = ∑(a₀, a₁, … , aₙ) = sₙ + aₙ = a₀ + a₁ + … + aₙ
276. Amb un A finit la suma ∑A correspondria exactament a s_|A| . Amb A infinit, però, aquesta seqüència sₙ seguirà indefinidament sense tenir cap final i no podrem dir en cap moment que ja haguem sumat tots els elements de A.
277. I no obstant, nosaltres seguim volent trobar aquest «final» de sₙ, cap a on s'està dirigint. D'aquest concepte se'n diu _límit_ i és el fonament d'algunes de les branques més importants de la matemàtica com el càlcul infinitesimal i l'anàlisi.
278. Si recordem el cas particular que ens ocupa i del que potser ja ens hem anat apartant una mica massa, els elements que estem intentant sumar eren tots nombres racionals de la forma 1/10^k, és a dir, tots ells nombres positius. Això vol dir que cada element de la seqüència de sumes parcials tindrà un valor més gran que l'anterior donat que si sᵢ₊₁ = sᵢ + aᵢ i aᵢ > 0 aleshores sᵢ₊₁ > sᵢ.
279. Això vol dir que aquell valor límit cap al que ens dirigim també ha de ser més gran que tots i cadascun dels infinits sᵢ. I alhora de tots els nombres que són més grans que tots i cadascun dels infinits sᵢ serà el més petit. Aquest concepte ja el coneixem i es diu suprem. Recordem que el suprem d'un conjunt infinit de nombres racionals és un nombre real que pot ser irracional. Això és el que ens passarà per exemple amb el conjunt de nombres primers tal com havíem vist.
280. I amb això ja tenim definida d'una manera fonamentada la funció f: 2^ℕ → ℝ, f(X) = ∑{1/10^n ∣ n ∈ X} que té la propietat de no col·lisionar en el mateix nombre real de sortida amb cap parell de conjunts d'entrada diferents. Dit d'una altra manera, és una bijecció entre els conjunts de conjunts de nombres naturals i un cert subconjunt dels nombres reals.
281. I existint aquesta bijecció, podem donar per fet que |2^ℕ| ≤ |ℝ|. I com que alhora havíem vist abans que |ℝ| ≤ |2^ℕ|, doncs aleshores |ℝ| = |2^ℕ| com volíem demostrar. El conjunt dels reals té la mateixa cardinalitat que el conjunt potència dels naturals.
282. Aquest fet i particularment la desigualtat |ℕ| < |ℝ| que se'n deriva té conseqüències profundes que van més enllà de la matemàtica.
Quim Testar
Jaume C. de Rapinyaire-Stuart