題意の取り違えや計算ミスがあったらごめんなさい。母函数を使うこと自体は正しいはず
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#calculus
積分すると、
\begin{align}
&\sum_{n=k}^\infty\sum_{m=k}^\infty\frac{t^{n-k}s^{m-k}}{n!m!}\int^\infty_0e^{-x}x^jL_n^k(x)L_m^k(x)dx\\
=&\frac{(1-t)^{j-k}(1-s)^{j-k}}{(1-st)^{j+1}}j!
\end{align}
であり、いま$j=k+2$なので、両辺の$(st)^{n-k}$の係数を比べて、
\begin{align}
&\int^\infty_0e^{-x}x^{k+2}L^k_n(x)^2dx\\=&(n!)^2(k+2)!\left[\binom{n+2}{n-k}+4\binom{n+1}{n-k-1}+\binom n{n-k-2}\right]
\end{align}
になると思います。
積分すると、
\begin{align}
&\sum_{n=k}^\infty\sum_{m=k}^\infty\frac{t^{n-k}s^{m-k}}{n!m!}\int^\infty_0e^{-x}x^jL_n^k(x)L_m^k(x)dx\\
=&\frac{(1-t)^{j-k}(1-s)^{j-k}}{(1-st)^{j+1}}j!
\end{align}
であり、いま$j=k+2$なので、両辺の$(st)^{n-k}$の係数を比べて、
\begin{align}
&\int^\infty_0e^{-x}x^{k+2}L^k_n(x)^2dx\\=&(n!)^2(k+2)!\left[\binom{n+2}{n-k}+4\binom{n+1}{n-k-1}+\binom n{n-k-2}\right]
\end{align}
になると思います。
https://mathtod.online/@sr_ambivalence/769098
水素様原子の動径波動函数は本質的に、
\begin{align}
R_{nl}(r)\propto e^{-r/2}r^lL^{2l+1}_{n+l}(r)
\end{align}
（$L_m^k(r)$はラゲールの陪多項式）なので、
\begin{align}
\int^\infty_0r\cdot R_{nl}(r)^2r^2dr\sim\int^\infty_0e^{-r}r^{2l+3}L^{2l+1}_{n+l}(r)^2dr
\end{align}
が求まれば良い。この計算には母函数表示
\begin{align}
\sum_{n=k}^\infty L^k_n(x)\frac{t^{n-k}}{n!}=\frac{(-1)^k}{(1-t)^{k+1}}\exp\left[-\frac{xt}{1-t}\right]
\end{align}
を使うと良いです。
ちなみに宮下轟木本には、
・蜂の巣格子と三角格子でのIsing模型の厳密な転移点
・二次元正方格子でのPotts模型の厳密な転移点
の導出が詳解してある。蜂の巣・三角格子でのPotts模型の転移点は書いていないが、上記二つをヒントに自分で導ける（計算はやや大変）。
結論：宮下轟木本はバイブル
実は、有限系であっても転移点でのBinder ratio は系の大きさに依存しないことが知られている。系を大きくするほど無限系でのグラフに近づくので、有限系の大きさを変えてBinder ratio をプロットすると、転移点で全てのグラフが交わることになる。
より詳しい説明は、
『別冊数理科学 演習形式で学ぶ相転移・臨界現象』（宮下精二・轟木義一）にある
偉そうなことばっかり言って自分では何もしていない奴だと思われるのも嫌なので、僕もシミュレーションの結果を貼る。言語はC++, サンプル更新にはWolff algorithm を用いた。２次元正方格子でのIsing模型のBinder ratio のグラフ。横軸は逆温度
https://mathtod.online/media/fxqtfZepUWugM-AB6UI
各曲線の意味は、例えば4x4なら、
「4x4の格子でサンプル数100万、逆温度0.4から0.5の範囲をプロット」という意味。32x32はあまりにも時間がかかるのでサンプル数半分で妥協（数時間かかった）
グラフを見ると、確かに0.44付近で相転移していることがわかる
Binder ratio については次のトゥートで詳説
Binder ratio とは：
格子上の模型について相転移というとき、普通無限系での系の性質の著しい変化をさす。しかし当然ながら、コンピュータ上では有限系しか扱えない。そこで有限系の情報から無限系の転移点の情報を得るのに便利な値がBinder ratio である。Ising模型の場合は、磁化
\begin{align}
M=\frac1N\sum_{i=1}^N\sigma_i
\end{align}
に対して、Binder ratioを
\begin{align}
B=\frac{\langle M^4\rangle}{\langle M^2\rangle^2}
\end{align}
と定義する（$\langle\cdot\rangle$はアンサンブル平均）。この値は、高温では磁化がガウス分布になるため３に近づき、低温では磁化が$\pm1$に分布するため１に近づく。理想的な無限系では臨界温度でステップ関数的に変化するが、有限系ではどうなるか？
格子上の模型について相転移というとき、普通無限系での系の性質の著しい変化をさす。しかし当然ながら、コンピュータ上では有限系しか扱えない。そこで有限系の情報から無限系の転移点の情報を得るのに便利な値がBinder ratio である。Ising模型の場合は、磁化
\begin{align}
M=\frac1N\sum_{i=1}^N\sigma_i
\end{align}
に対して、Binder ratioを
\begin{align}
B=\frac{\langle M^4\rangle}{\langle M^2\rangle^2}
\end{align}
と定義する（$\langle\cdot\rangle$はアンサンブル平均）。この値は、高温では磁化がガウス分布になるため３に近づき、低温では磁化が$\pm1$に分布するため１に近づく。理想的な無限系では臨界温度でステップ関数的に変化するが、有限系ではどうなるか？
普通「蜂の巣格子」なんて名前出されたら六角形のマスに変数が棲んでると思うよね（自分で使うときはその意味に統一している）
それとこれは余談だが、蜂の巣格子を六角格子と呼ぶとその筋の人に怒られるらしい
自分で勉強するときに何度か苦しんだので自戒の意も込めて垂れ流す。格子上の統計物理を勉強する上で注意すべきことが少なくとも二つある：
1. 相互作用項における
\begin{align}
\sum_{(ij)}
\end{align}
と
\begin{align}
\sum_i\sum_{j\in i}
\end{align}
を区別する。理論的にかっこいいのは前者だが、プログラムを書くときに後者にしてしまいがち
2. 三角格子と蜂の巣格子（六角格子）が文献によって逆になっている（マスの中と線の交点のどちらにスピンを置くかの違い）
\begin{align}
(1-x)^{-m-1}(1-x)^{-m-1}=(1-x)^{-2m-2}
\end{align}
の両辺の$x^i$の係数で一発だったorz
(1-x)^{-m-1}(1-x)^{-m-1}=(1-x)^{-2m-2}
\end{align}
の両辺の$x^i$の係数で一発だったorz