Mastodawn

$p=(p_1,\ldots,p_n)$ は $p_i$ がすべて0以上で $p_i$ たちの総和が $1$ のとき「単体に含まれる」と言うことにする。

$a_k=(a_{1k},\ldots,a_{nk})$ は単体に含まれるとし、$f_{ik},g_k\in\mathbb R^N$ は
$$
g_k = \sum_{i=1}^n a_{ik}f_{ik}
\tag{$*$}
$$を満たしていると仮定する。

点列 $f_{ik}, g_k$ は $k\to\infty$ でそれぞれ $c_i,d$ に収束すると仮定する。

単体はコンパクトである。ゆえに単体内の点列 $a_k$ は単体内のある点 $b=(b_1,\ldots,b_n)$ に収束する部分列 $a_{k_\nu}$ を持つ。このとき($*$)の部分列の収束先として、$$
d = \sum_{i=1}^n b_i c_i
$$も成立している。 q.e.d.

yoriyuki on mathtod.online

$f_1(x), \ldots, f_n(x)$で張られるConvex hullがあったとして、その中に$g(x)$が入っているとする。$f_1(x), \ldots, f_n(x)$が$c_1, \ldots, c_n$に、$g(x)$が$d$に収束する時、$d$は$c_1, \ldots, c_n$のconvex hullに入っているか。成り立ちそうなんだけれど、どう証明していいかわからない。

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