以前、ツイッターに流したランダムウォークの母函数の計算の解説。2ページあります。
https://twitter.com/genkuroki/status/796545944330194946
非常に基本的な結果でタウバー型定理と一緒に使います。具体的には
https://genkuroki.github.io/documents/20160501StirlingFormula.pdf#page78
の系10.6と一緒に使う。
https://mathtod.online/media/Ua8wuPikvWIRzraYvkQ
https://mathtod.online/media/tFwKbpeg-rLwGf9MfgI
https://mathtod.online/@Sun_Pillar/472601
サンピラーさんの問題ともろに関係があります。
母函数の計算のテクニックによって、任意の i.i.d. $X_k$ に対するランダムウォーク$$
S_n = X_1+\cdots+X_n
$$について、確率$$
P(S_1>0,\ldots,S_n>0)
$$の母函数を確率$$
P(S_k>0)
$$たちで表す公式が得られます。
それによって(必要ならタウバー型定理も使うことによって)、$n\to\infty$での確率$$
P(S_1>0,\ldots,S_n>0)
$$の漸近挙動を調べることができます。
すなわち、1次元ランダムウォークの結果がずーっと正の領域に留まる確率のことがわかります。
サンピラーさんはどのような解答を考えたのでしょうかね。
例えばすべての $n$ について、$P(S_n>0)=1/2$ となる場合には、母函数の結果を使うと$$
1+\sum_{n=1}^\infty v^n P(S_1>0,\ldots,S_n>0)\\
=(1-v)^{-1/2}
$$となり、二項展開で左辺に係数の確率を計算できます。
さらにタウバー型定理を使うとWallisの公式を使わなくても$$
P(S_1>0,\ldots,S_n>0)\sim\frac{1}{\sqrt{\pi n}}
$$となることもわかります。
ずーっと正に留まっている確率は $n^{-1/2}$ のオーダーで減少することになります。
この手のことを一般的に示す魔法のテクニックが、確率の母函数の巧妙な計算です。
解析学の標準装備であるタウバー型定理との組み合わせで使う。
https://genkuroki.github.io/documents/20161109GeneralRandomWalks.pdf
一般のランダムウォークに関する母函数の計算
ナマの画像じゃなくてPDF化したものを公開しました。
1ステップの移動を独立同分布な確率変数列 $X_k$ 達で行なうランダムウォーク$$
S_n = X_1+\cdots+X_n
$$の最も簡単な例はコインを投げで表なら $X_k=1$、裏なら $X_n=-1$ とすることです。
上の手書きのノートはこの $X_k$ が(ゆるい条件のもとで)任意の場合を扱っています。
サイコロをふって1,2が出たら $X_k=1$ とし、3,4,5,6が出たら $X_k=-1$ としてもよい。
もちろん、$[a,b]$ 上の一様分布でもよいし、正規分布でもよい。
ずーっと正のままでいる確率について細かい設定によらない一般的な公式を便利な母函数表示の形で作れるという話です。
母函数表示が便利なのはタウバー型定理が標準装備として普及しているから。
コイン投げのランダムウォークは単純ランダムウォークと呼ばれているようです。
その場合にはすべてをexplicitに計算することによって結果を出せます。
しかもそのとき使われる組み合わせ論的議論が結構面白い。
単純ランダムウォークの逆正弦法則についての、極めてテキトーなまとめが
https://genkuroki.github.io/documents/#2016-11-02
にあります。
お絵描き＋Wallisの公式で逆正弦法則を容易に示せます。
高校数学でよくある経路の本数を数える問題のちょっとした一般化に過ぎません。
高校数学の範囲内で手を出せるぎりぎりの話になっていると思います。
高校生あたりで、きちんと経路の有限集合間の一対一対応を作る議論とWallisの公式の証明をフォローして逆正弦法則を示し、コンピューターでのモンテカルロシミュレーションでも確認するというようなことをできれば、数学関係の能力的には一生困らないんじゃないかな？
母函数表示の結果はこうです。
\begin{align*}
&
1+\sum_{n=1}^\infty v^n P(S_1 >0,\ldots, S_n >0)
\\&=\exp\left[
\sum_{k=1}^\infty\frac{v^k}{k}P(S_k >0)
\right].
\end{align*}
右辺の形は「よくあるいつもの形」をしています。
たとえば合同ゼータ函数の定義でも出て来る形です。
https://terrytao.wordpress.com/2013/07/19/the-riemann-hypothesis-in-various-settings/
黒木玄 Gen Kuroki