#conformal

リーマン計量を$$
ds^2 = \sum_{i,j=1}^n g_{ij}(x) dx^i\,dx^j
$$と書くとき、$ds^2$ は微小線素の長さの二乗を意味していると思っています。リーマン計量は各点ごとに微小線素の測り方を与えている。

任意の正値函数 $a(x)$ によってこれを$$
d\tilde s^2 = a(x)^2 ds^2
$$に変える変換は各点 $x$ ごとに長さを $a(x)$ 倍して測ることを意味しています。

このように長さの測り方を変えても角度は変化しません。なぜならば接ベクトル $X,Y$ のなす角度 $\theta$ はリーマン計量が定める内積$$
g(X,Y) = \sum_{ij}g_{ij}(x)X^i Y^j
$$を使って、$$
\cos\theta = \frac{g(X,Y)}{\sqrt{g(X,X)}\sqrt{g(Y,Y)}}
$$で決まるからです(この公式は本質的に高校の内積の項目で習っている、高校数学はとても大事)。分子分母に $a(x)^2$ を書けても $\cos\theta$ は変わらない。