Исчисление геометрии Часть 1. Алгебры Клиффорда

Это начало серии статей, дающих достаточно мягкое, но последовательное введение в геометрические алгебры , известные также как алгебры Клиффорда . Её можно считать естественным продолжением цикла «Изобретаем числа» , в котором мы знакомились с разнообразной арифметической экзотикой: двойными, дуальными и гиперболическими числами, а так же с методикой расширения числовых колец и полей всевозможными добавками, мнимыми и не очень. Теперь мы эти добавки смешаем, не взбалтывая так, чтобы получающимися числами можно было моделировать целые геометрии. Предлагаемый цикл я рассматриваю как дополнение к популярным введениям и обзорам геометрической алгебры, хотя оно может быть полезным и как первое знакомство с предметом. Его отличает больший чем обычно акцент на алгебраическую часть, а также следование оригинальному подходу Эрика Ленгэля (Eric Lengyel) к построению геометрических алгебр, который мне представляется наиболее последовательным и логически непротиворечивым.

https://habr.com/ru/articles/776556/

#геометрическая_алгебра #алгебра_клиффорда #haskell #геометрия #алгебра

DeepSeek-R1 и обобщённое уравнение плоскости: Как ИИ помог мне переосмыслить геометрическую алгебру

Привет, Хабр! Сегодня расскажу, как нейросеть DeepSeek-R1, несмотря на свои ограничения, помогла вывести обобщённое уравнение плоскости и поверхности второго порядка в геометрической алгебре (GA) через матрицы Паули. Это не просто история про «ИИ vs математика» — это пример симбиоза, где человек направляет, а машина предлагает идеи, которые иначе могли бы остаться незамеченными. Это пример того, как технологии расширяют возможности исследователя, а критическое мышление превращает сырые идеи в строгие математические конструкции. ___________________________________________________________________________

https://habr.com/ru/articles/883746/

#геометрическая_алгебра #матрицы_паули #кватернионы #геометрия

Матрицы Паули. Финал

Матрицы Паули. Финал. Это последняя статья на эту тему. Все предыдущие с таким заголовком были тренировочными перед этой, с разным результатом, разумеется. И мне и вам, тема как бы интересна, но прямо скажем - не будем на этом зацикливаться. Спойлеры, что вас ждет в финале: Визуализация действия операторов Паули на векторы в динамике. Концепция объединения линейной алгебры и ТФКП. Простое определение геометрического произведения. Взаимодействие ковекторов и векторов: градиент и оператор Лапласа. Обобщение формулы Муавра на матрицы 2х2 Очень много данных по алгебрам Клиффорда и проективной геометрии в ссылках от моего товарища в конце статьи. Поехали.

https://habr.com/ru/articles/848470/

#алгебры_клиффорда #матрицы_паули #геометрия #алгебра #геометрическая_алгебра

Про соотношения между ℝ^2, ℂ и матрицами Паули

Изоморфизм R2, C и матриц Паули. Статья о том, что каждая из матриц Паули это простой геометрический объект - единичный орт системы обычной координат. Без историй про инфиземальные повороты и прочее квантово-механическое и прекрасное. Так же как и в прошлых двух статьях структура статьи такая, сначала рецепт, потом все остальное. Всем искрене желаю приятного чтения и ежедневной простоты мышления, например как в учебнике Клиффорда , который я недавно прочитал (Клиффорд это автор одноименных алгебр, частью которых является алгебра матриц Паули, кто не слышал).

https://habr.com/ru/articles/843358/

#геометрическая_алгебра #прикладная_математика_и_информатика

Девять измерений от Дирака?

Вдогонку к сюжету про матрицы Паули, решил провести параллель с матрицами Дирака , которые состоят из матриц Паули. Статья так же в рамках жанра кейс. В этот раз напишу кратко, просто наблюдаемые математические факты. Так как рецептом в данном случае является принцип, а не формула, то в этот раз под кат убрать нечего. Так же не смогу привести подробно символьные вычисления, потому что промежуточные результаты не входят в страницу даже самым мелким шрифтом. Поэтому привожу только результаты, и поэтому тип статьи "сложно". Теоретически, если развить данную идею, то можно будет в рамках геометрической алгебры построить любое количество измерений. Поэтому делюсь идеей для тех, кого это интересует. Действительно ли конструкция ниже описывает девять измерений, нужно изучать, это пока предположение.

https://habr.com/ru/articles/818839/

#геометрическая_алгебра #прикладная_математика_и_информатика

Матрицы Паули. Просто. Для обычной физики и графики

Давно хотел я написать про матрицы Паули. Но каждый раз, когда я читал очередную чисто научную статью на схожую тему, задавал простой вопрос: "Дружище, ты за что так не любишь людей?". Поэтому во-первых статья в жанре "научно-популярный кейс", во-вторых из изначальной идеи статьи долго исключал все, что возможно, из лишнего и труднопонятного. В-третьих, основной рецепт во введении, на первой же странице. Мне не нравится, когда от букв в глазах рябит, или много не нужного лирического текста, или не очень понятно, где же практически полезный рецепт и линия повествования. Поэтому в основном тексте только суть, а все подробности кейса убраны под кат, для тех читателей, кому нужны подробности, а не простота. Все что ниже, наверное, у кого-то опубликовано, но мне лично не попалось. С одной стороны, к моему сожалению, потому что сэкономил бы полгода своего досуга. С другой стороны, разобраться было увлекательно. Ну и буду рад, если кому знания о таком инструменте окажутся полезными, или хотя бы расширят кругозор.

https://habr.com/ru/articles/813135/

#геометрическая_алгебра #прикладная_математика_и_информатика