https://mathtod.online/@mathcalA/503573
$$
\frac{1}{2},\quad
\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}},\quad
\frac{\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}}{\frac{\frac{5}{6}}{\frac{7}{8}}},\quad
\ldots
$$の極限が $1/\sqrt 2$ になることの証明を見付けました。
いつもの「パラメーターを増やすと問題が解ける」というパターンの一つ。
次のリンク先に
Read Online (Free)
と書いてあります。
http://oeis.org/search?q=276620298878
のRef.は次のリンク先で読める。
さらにそこで引用されている
D. Robbins. Am. Math. Monthly 86, 394 (1979).
は一つ前のトゥートで紹介したように Read Online (Free)となっている。
見に行くのが面倒な人は画質の悪い添付画像を見るべし。 誰かがその内容をmathtod.online特有の数式入りトゥートで紹介すると読み易くなるかも。
件の数列の極限にパラメーター $x$ を入れたものを $f(x)$ と書くと、 $$
f(x+1/2)=f(x)/f(2x)
$$という函数方程式を満たしていることがポイント。$x\to 0$ の極限をとると、 $f(0)=0$ と $f'(0)\ne 0$ より$$
f(1/2) = 1/2.
$$ゆえに $x=1/2$ とおくと$$
0< f(1)=f(1/2)/f(1)=2/f(1)
$$となり、$f(1)=1/\sqrt 2$ となることがわかる。パラメーターを適切に増やせばたったこれだけの議論で証明できる。
ガンマ函数が満たしているのは$$
\Gamma(2s)=c 2^{2s}\Gamma(s)\Gamma(s+1/2)
$$型の函数方程式。定数 $c$ は $s=1/2$ を代入すれば $c=1/(2\sqrt\pi)$ だとわかる。$f$ が満たしているのは$$
f(2x) = f(x)/f(x+1/2)
$$で少し違う。しかし、何か関係がありそうにも見える。
この辺について何かわかった人がいたら教えて下さい。
高木貞治『解析概論』定理46の特別な場合として次が得られます。
定理：集合 $X$ 上の複素数値函数列 $f_n$ と非負の実数列 $a_n$ が$$
|f_n(x)|\leqq a_n \quad (x\in X),\\
\sum_{n=1}^\infty a_n < \infty
$$を満たしているならば、無限積 $$
\prod_{n=1}^\infty (1+f_n(x))
$$は積の順番をどのように変えても $X$ 上で一様収束し、収束先はすべて同じになる。□
そして、Cauchyの積分公式(←複素解析の基礎的部分はほぼこれに尽きる)より、一様収束する複素正則函数列の極限と微分などの操作は自由に交換可能になります。
我々が扱っている無限積はこういう処理が可能なケースなので形式的な操作がそのまま厳密な操作になっていることが容易に正当化されます。
細かいことに不安を持たなくても大丈夫です。
https://mathtod.online/@mathcalA/509486
\begin{align}
\prod 2^{-\theta(r)}
&=(2^1 2^{-1}2^{-1}2^1)(2^{-1}2^12^12^{-1})\cdots\\
&=1\cdot 1\cdot \cdots\\
&=1
\end{align}
1つ目の等号は除けば、数列 $1,1,1,\ldots$ が $1$ に収束するだけの話なので明らか。
1つ目の等号の左辺は収束しないのですが、その問題は以下のように考えれば消えます。
我々が扱っている無限積は $a_n\to 1$ となるような
$$
a_n=\left(\frac{x+2n}{x+2n+1}\right)^{\pm1}
$$たちの積です。だから、2つずつにまとめた
$$
(a_0a_1)(a_2a_3)\cdots(a_{2k}a_{2k+1})
$$が $k\to\infty$ で収束することから、$$
a_0a_1a_2\cdots a_n
$$も $n\to\infty$ に収束することが出ます。
この辺はもとの解答の(1)式がイーカゲンに書かれているので注意が必要です。
各 $a_n$ が不変な操作で$$
a_0a_1a_2\cdots a_n
$$の極限が自明に保たれること(自明)を使えば、その辺のイーカゲンな部分を論理的に厳密に書き直せます(ほぼ自明)。
この手のことは、数学の専門家のあいだでの会話ではよくあることで、論理的な正当化が易しい場合には文字通りに受け取ると間違っている議論をしてもよいことになっています。
学部生には「それじゃあダメ。証明になっていない」と言っていることを、自分達は平気でやっているわけです。
これは別に悪いことではなくて、コミュニケーションを効率化するためには相手の実力を信用してテキトーに簡略化して説明した方が良いことが多いのです。
現存するコンピューターに仕事をやらせる場合とはこの点が大違いなのだ。
こういう事情があるので、数学の文献に書いてあることを文字通りに受け取るのは効率的でないことが結構多いです。
書いてあることを文字通りに信じたりせずに、アイデアを直観的に理解して論理的に再構成した方が楽。
$$
\prod_{r=0}^\infty (x+r)^{\theta(r)}
$$を文字通りに受け取ると収束しません。収束するようには全く見えない。
しかし、それを$$
\theta(2k)=\theta(k), \\
\theta(2k+1)=-\theta(k)
$$を使って、$$
\prod_{k=0}^\infty
\left(\frac{x+2k}{x+2k+1}\right)^{\theta(k)}
$$と書き直すと条件収束するようになります。(条件収束することの証明は高木貞治『解析概論』p.180、例2を見れば得られる。)
さらに
$$
\prod_{j=0}^\infty
\left(\frac{x+4j}{x+4j+1}\,\frac{x+4j+3}{x+4j+2}\right)^{\theta(j)}
$$と書き直せば絶対収束するようになり、扱いが極めて易しくなるわけです。
もとの文献でも気持ちの上では収束する無限積を扱っているのですが、その通りに書くと記号的に分量が大幅に増えるので、読者を信用して省略して書いているのだと思います。
$f(x)$ を$$
f(x)=\prod_{j=0}^\infty
\left(\frac{x+4j}{x+4j+1}\,\frac{x+4j+3}{x+4j+2}\right)^{\theta(j)}
$$と書いておき、もとの文献の(1)式の計算を全部書き直せば論理的に厳密な証明になります。
4つ組を一塊で扱えば絶対収束しているので、無限積の順序をどのように変えても結果は変わらない。だから、形式的操作がそのまま証明になります。
件の $f(x)$ とガンマ函数の比較
件の $f(s)$
\begin{align*}
&
\log f(s)
=-\int_0^\infty e^{-st}F(t)\,dt,
\\&
F(t)=\frac{1}{t}\prod_{m=0}^\infty(1-e^{-2^m t}).
\end{align*}
ガンマ函数に関するBinetの公式
\begin{align*}
&
\log\frac{\Gamma(s)e^s\sqrt s}{s^s\sqrt{2\pi}}
=\int_0^\infty e^{-st}G(t)\,dt,
\\ &
G(t)=\frac{1}{t}\left(
\frac{1}{2}-\frac{1}{t}+\frac{1}{e^{t}-1}
\right)
\end{align*}
どちらも対数をLaplace変換の形で書けます。 ($\mathrm{Re}\,s>0$ を仮定しておく。)
ガンマ函数は極めて重要でかつ基本的な函数なのですが、我々が話題にしている $f(s)$ の方はどうなんでしょうかね？
黒木玄 Gen Kuroki