Projection-Dependent Detectability of Critical Transitions: An Operator-Theoretic Framework

Dieses Manuskript entwickelt einen operator-theoretischen Rahmen zur Analyse der Detektierbarkeit kritischer Übergänge in komplexen dynamischen Systemen. Im Zentrum steht die These, dass klassische Early-Warning-Signale (EWS) wie Varianzanstieg oder zunehmende Autokorrelation keine intrinsischen Eigenschaften einer Instabilität sind, sondern Projektionen operator-theoretischer Amplifikationsstrukturen durch eine spezifische Beobachtungsgeometrie. Die Arbeit verbindet Koopman-Operator-Theorie, Pseudospektral-Analyse, Nichtnormalität, Beobachtungsgeometrie und Large-Deviation-Theorie zu einem gemeinsamen mathematischen Framework. Als zentrales Objekt wird der projizierte ResolventR_h(z)=P_h(zI-\mathcal{L})^{-1}Beingeführt, der Dynamik, Beobachtungskanal und Störungsstruktur in einer einzigen operator-theoretischen Darstellung vereint. Das Manuskript zeigt, dass kritische Übergänge trotz intrinsischer Instabilität für bestimmte Beobachter vollständig „silent“ bleiben können (projection-null criticality). Daraus folgen formale Unmöglichkeitssätze für universelle skalare Frühwarnindikatoren sowie eine neue Interpretation klassischer EWS als niederordentliche Projektionen pseudospektraler Dynamik. Besonderes Gewicht liegt auf nichtnormalen Systemen, in denen transienter pseudospektraler Wachstumseffekt sowohl falsch-positive als auch falsch-negative Frühwarnsignale erzeugen kann. Das Framework liefert damit eine mathematisch konsistente Erklärung für bekannte Fragilitäten klassischer EWS-Verfahren. Keywords critical transitions, early warning signals, operator theory, Koopman operator, pseudospectrum, non-normal dynamics, resolvent analysis, observability geometry, critical slowing down, large deviation theory, transfer operators, stochastic dynamics, detectability, dynamical systems, projection geometry   English Description This manuscript develops an operator-theoretic framework for the detectability of critical transitions in complex dynamical systems. The central thesis is that classical early-warning signals (EWS), such as variance inflation and increasing autocorrelation, are not intrinsic properties of instability itself, but projections of operator-theoretic amplification structures through a specific observation geometry. The work unifies Koopman operator theory, pseudospectral analysis, non-normal dynamics, observability geometry, and large-deviation theory into a common mathematical framework. The central object is the projected resolventR_h(z)=P_h(zI-\mathcal{L})^{-1}B,which combines system dynamics, observation channels, and forcing structure within a single operator-theoretic representation. The manuscript demonstrates that critical transitions may remain completely silent for specific observers despite intrinsic instability (projection-null criticality). This leads to formal impossibility theorems for universal scalar precursors and a reinterpretation of classical EWS as low-order projections of pseudospectral dynamics. Particular emphasis is placed on non-normal systems, where transient pseudospectral amplification can generate both false-positive and false-negative warning signals. The framework therefore provides a mathematically consistent explanation for the known fragility of classical EWS approaches. Keywords critical transitions, early warning signals, operator theory, Koopman operator, pseudospectrum, non-normal dynamics, resolvent analysis, observability geometry, critical slowing down, large deviation theory, transfer operators, stochastic dynamics, detectability, dynamical systems, projection geometry