En maths, j'aime bien les #probas et les #stats (entre autres).
En probas, il y a des objets qui me fascine : les processus stochastiques. En gros, en proba, on joue avec des variables aléatoires. Les processus stochastiques ce sont des familles de variables aléatoires, qu'on peut parfois voir comme des fonctions aléatoires.
Et un processus que j'aime bien : le mouvement Brownien (voir illustration). C'est un peu l'archétype des fonctions aléatoires, et il a plein de propriétés sympas.
Parmi ces propriétés : c'est un processus dont les trajectoires sont continues, il est auto-similaire (i.e. il se comporte comme une fractale), et on peut l'utiliser dans plein de domaines différents (en #biologie, en #info, en #physique, en #météorologie, en #climatologie, etc.)
Si on veut, on peut modifier son aspect, mais une de ses grosses restrictions, c'est qu'on ne peut pas modifier son comportement : dans l'illustration qui suit, j'ai changé sa variabilité.
La limitation concernant le comportement global peut être surmontée, au prix de certaines considérations techniques.
Par exemple, avec le mouvement Brownien fractionnaire : on peut obtenir des trajectoires qui varient autant que le mouvement Brownien, mais telles que les "micro-variations" sont plus ou moins importantes.
Cette régularité est prescrite par une variable, qu'on appelle communément "exposant de Hurst". Plus il est proche de 0, plus les trajectoires sont "rugueuses". Inversement, plus il est proche de 1, plus les trajectoires seront "lisses".
On observe que cette régularité vaut pour l'ensemble de la trajectoire, et une valeur particulière de l'exposant de Hurst est 1/2 : on retombe sur le mouvement Brownien standard !
Le mouvement Brownien fractionnaire peut sembler être une curiosité plus que d'un réel intérêt... C'est oublier son utilisation en #radiographie, en #jv et #graphisme (générations de textures), et (encore) : en #physique, en #climatologie, en #écologie, etc.
Cependant, on se confronte à une nouvelle limitation : la régularité des trajectoires. Oui, même si on peut la prescrire, on aimerait pouvoir la faire varier à quelques endroits, voire tout au long de la trajectoire !
Une solution : le mouvement Brownien multifractionnaire. Cette fois, l'exposant de Hurst est une fonction du temps (et non plus une constante). Là, on peut être plus fins dans la construction, et les trajectoires peuvent être aussi "irrégulièrement irrégulière" que l'on veut (ouais, la terminologie est pas ouf 😅 ).
Je vous propose une visualisation vidéo, ça vaut mieux pour lui :
https://www.youtube.com/watch?v=KUYwkJzOhhY
EDIT: la vidéo est proposée par l'équipe de recherche ANJA de l'INRIA.
Pourquoi je vous parle du mouvement Brownien et de ces généralisations ?
D'abord, parce que c'est un objet super cool. Et ensuite, parce que je suis tombé sur un article très intéressant.
En #stats, dans le cadre d'une étude, on peut être amené à tester l'adéquation de données à un modèle. Pour ce faire, on peut réaliser un test d'hypothèse. Classiquement, un tel test est réalisé sur des populations qui suivent une distribution : loi normale (la courbe en cloche), loi de exponentielle, etc.
Ces lois concernent des variables aléatoires. Supposons que je veuille cette fois-ci tester que mes données sont tirées d'une *famille* de variables aléatoires, que fait-on ?
C'est plus compliquée. Les modèles demandent des hypothèses plus contraignantes, et, en général, conduire ce genre de tests peut être risquée (d'un point de vue interprétatif).
Cependant, quand on voit certains jeux de données, on peut se dire "hum... oui... ça, c'est un mouvement brownien ((multi)fractionnaire) !"
Pour vérifier ça, il faut faire... un test d'hypothèse 🔍
Premières choses : les mouvements Browniens sont caractérisées par des paramètres, on peut donc espérer qu'en estiment assez bien les paramètres, on aboutira à une bonne modélisation du jeu de données.
C'est pas tout à fait optimal, et parfois, ça donne trop d'information (on obtient les valeurs du paramètres, là où on aurait pu se contente d'exclure seulement certaines valeurs).
Un papier de M. Balcerek et K. Burnecki présente une autre méthodologie.
https://www.mdpi.com/1099-4300/22/12/1403
L'idée, c'est de vérifier qu'un test d'hypothèse classique, portant sur des familles d'exposant de Hurst fréquemment rencontrées, peut suffire dans bien des cas, et propose même des estimations assez fortes (d'un point de vue statistique : on a plus de chance de rejeter l'hypothèse nulle quand elle est fausse).
Spoiler : c'est le cas, et l'objectif est d'étendre ce test à de plus grandes familles.
Fractional Brownian motion (FBM) is a generalization of the classical Brownian motion. Most of its statistical properties are characterized by the self-similarity (Hurst) index 0<H<1. In nature one often observes changes in the dynamics of a system over time. For example, this is true in single-particle tracking experiments where a transient behavior is revealed. The stationarity of increments of FBM restricts substantially its applicability to model such phenomena. Several generalizations of FBM have been proposed in the literature. One of these is called multifractional Brownian motion (MFBM) where the Hurst index becomes a function of time. In this paper, we introduce a rigorous statistical test on MFBM based on its covariance function. We consider three examples of the functions of the Hurst parameter: linear, logistic, and periodic. We study the power of the test for alternatives being MFBMs with different linear, logistic, and periodic Hurst exponent functions by utilizing Monte Carlo simulations. We also analyze mean-squared displacement (MSD) for the three cases of MFBM by comparing the ensemble average MSD and ensemble average time average MSD, which is related to the notion of ergodicity breaking. We believe that the presented results will be helpful in the analysis of various anomalous diffusion phenomena.
Jovian -*- Serval strikes back