From Scalar Indicators to the Projective Observability Framework: Why Detectability Emerges from Geometric Alignment

Diese Arbeit präsentiert eine konsolidierte Revision eines früheren indikatorbasierten Ansatzes zur Detektion kritischer Übergänge in komplexen Systemen. Es wird gezeigt, dass skalare Kennzahlen (z. B. zusammengesetzte Indikatoren) hochdimensionale Dynamik auf einen einzelnen Wert reduzieren und dabei wesentliche strukturelle Information verlieren. Solche Größen sind weder invariant gegenüber Basiswechseln noch geeignet, die tatsächliche Beobachtbarkeit von Instabilitäten zuverlässig zu beschreiben. Ausgehend von der Analyse multivariater stochastischer Systeme in der Nähe von Faltungsbifurkationen wird gezeigt, dass beobachtbare Signale durch das Zusammenspiel dreier geometrischer Komponenten bestimmt werden: der langsamen dynamischen Mode, der Rauschprojektion und dem Beobachtungsoperator. Daraus folgt, dass die Detektierbarkeit kritischer Dynamik kein skalares, sondern ein projektionsgeometrisches Problem ist. Als Konsequenz wird das Projective Observability Framework (POF) eingeführt. Dieses beschreibt Beobachtbarkeit als Ergebnis der geometrischen Ausrichtung von Dynamik, Anregung und Messung. Der Ansatz erklärt sowohl Fehlalarme als auch ausbleibende Warnsignale klassischer Methoden und liefert eine minimal korrekte strukturelle Beschreibung der Bedingungen, unter denen kritische Übergänge überhaupt beobachtbar sind. Die Arbeit ist als transparente methodische Klärung zu verstehen und schlägt eine Verschiebung von skalarbasierten Indikatoren hin zu geometrisch fundierten Diagnosen komplexer Systeme vor.   🧾 Description (English) This work presents a consolidated revision of a previous indicator-based approach for detecting critical transitions in complex systems. It demonstrates that scalar metrics (e.g., composite indicators) inherently compress high-dimensional dynamics into a single value, thereby discarding essential structural information. Such quantities are neither invariant under changes of measurement basis nor capable of reliably capturing the observability of instabilities. Starting from the analysis of multivariate stochastic systems near fold bifurcations, we show that observable signals are governed by the interaction of three geometric components: the slow dynamical mode, the noise projection, and the observation operator. This implies that detectability of critical dynamics is not a scalar property, but a projection problem in state space. As a consequence, the Projective Observability Framework (POF) is introduced. It defines observability as the result of geometric alignment between dynamics, forcing, and measurement. The framework explains both false positives and false negatives of classical indicators and provides a minimal structurally correct description of when critical transitions become observable. This work is intended as a transparent methodological clarification and proposes a shift from scalar indicators toward geometry-based diagnostics in complex systems.   🔑 Keywords (Deutsch) kritische Übergänge Frühwarnsignale Beobachtbarkeit geometrische Ausrichtung multivariate Systeme stochastische Dynamik Faltungsbifurkation Projektionsgeometrie Systemanalyse komplexe Systeme   🔑 Keywords (English) critical transitions early warning signals observability geometric alignment multivariate systems stochastic dynamics fold bifurcation projection geometry system analysis complex systems