$$
B_n = \left( \begin{array}{ccccccc} 0&1&0&0&\ldots&0&0\\ 1&0&1&0&\ldots&0&0\\ 0&1&0&1&\ldots&0&0\\ 0&0&1&0&\ldots&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&0&\ldots&0&1\\ 0&0&0&0&\ldots&1&0 \end{array} \right)
$$に対する$$
A_n = 2E_n - B_n
$$($E_n$ は単位行列)には
$A_n$ 型Cartan行列
という名前がついています。$BCDEF$ 型もある。
$\mathbb R^{n+1}$ の標準基底を $e_i$ と書くとき、
$$
h_i = e_i - e_{i+1}
$$達の内積表が $A_n$ 型Cartan行列に一致する。
Cartan行列が出て来る数学はおもろいです。
#Calculus #LinearAlgebra #LieAlgebra
$n$ 次元列ベクトル $v=[v_k]$ を
$$
v_k = f(x_k), \ x_k=kh, \\ f(x_0) = f(x_{n+1}) = 0
$$とおくと、$A_n$ 型Cartan行列 $A_n$ について、$Av$ の第 $k$ 成分は
$$
2f(x_k) - f(x_k-h)-f(x_k+h)\\ =
-h^2 f''(x_k) + O(h^3)
$$と書けるので、$A_n$ は
境界条件 $f(x_0)=f(x_{n+1})=0$ のもとでの離散Laplacian
です。Laplacianの固有値、固有函数を求める問題は基本的に重要なので、$A_n$ 型のCartan行列 $A_n$ の固有値、固有ベクトルを求める問題も基本的に重要だということになります。
周期境界条件に対応する離散Laplacianの行列表現には
$A^{(1)}_n$ 型のaffine型一般Cartan行列
という名前が付いています。
#Calculus #LinearAlgebra #LieAlgebra
o-o-o-o-o
のように丸を線で結んだ図形を「グラフ」と呼ぶことがあります。ここでは例として横一直線の単純なものを例に挙げましたが、枝分かれしていたり、閉路があったりしてもよい。そういう丸を線で結んだ図形の上ではランダムウォークを考えることができる。それは離散的なラプラシアンを丸を線で結んだ図形の上で考えることと実質的に同じです。
そしてここからが相当に非自明な話になってしまうのですが、丸を線で結んだ図形に丸Aと丸A自身を結ぶ線(長さ1のループ)が存在しなければ(以下簡単のためこの条件を仮定)、その図形に対して、Kac-Moody代数と呼ばれるLie代数やそのq差文化である量子展開環が定義されます。丸を線で結んだ図形に表現論的に基本的なKac-Moody代数や量子展開環の定義情報がすべて詰まっている！
実際には丸を線で結んだ図形はさらに一般化され、一般化された図形に対して、Kac-Moody代数と量子展開環が定義されます。
続く
#Calculus #LinearAlgebra #LieAlgebra #QuantumAlgebra
一般化された図形の例は添付画像。添付画像は
https://mathtod.online/@genkuroki/204074
より。この手の図形に対してLie代数を対応させる方法を天下り的に説明するのは易しいです。難しいのはそんなことをして何がうれしいかの説明。
添付画像は対応するLie代数が有限次元になる場合です。図形が複雑になると対応するLie代数は通常無限次元になり、制御が非常に難しくなる。
図形をそのまま扱うのは大変なので、通常、図形の情報を(対称化可能)一般Cartan行列 $A=[a_{ij}]$ に翻訳して扱います。$A_n$ 型の図形に対応する(一般)Cartan行列は本質的に離散線分状の離散Laplacianになります。$A_n$ 型の図形に対応するLie代数はトレースが0の行列全体で構成される $\mathrm{sl}(n+1)$ になります。
https://mathtod.online/@7shi/203900 四元数と3次元の回転の関係は「Lie群 $SU(2)$ の随伴表現」。 $i,j,k$ を正規直交基底とする3次元Euclid空間に $i,j,k$ 軸を中心とする角度 $2\theta$ の回転がそれぞれ\begin{align*} &a\mapsto e^{i\theta}a e^{-i\theta},\\ &a\mapsto e^{j\theta}a e^{-j\theta},\\ &a\mapsto e^{k\theta}a e^{ -k\theta} \end{align*}で作用している。 Lie群 $SU(2)$ の四元数体 $\mathbb H$ を使った実現の仕方は\[ SU(2)=\{\,g\in\mathbb H\mid |g|=1\,\}. \]これのLie代数が\[ \operatorname{su}(2)=\mathbb Ri+\mathbb Rj+\mathbb Rk. \]$SU(2)$ の $\operatorname{su}(2)$ への随伴表現の特殊化が上で示した式。
#Calculus #LieAlgebra #LieAlgebra #QuantumAlgebra #ClusterAlgebra
丸を線で結んだ図形(の一般化)の線を矢線に変えた図形を箙(中事案啓さんによるquiverの翻訳、えびらと読む)と呼びます。エビラについては添付画像も参照(笑)。
箙に対しては、矢線の向きの情報も利用でき、さらに様々な基本的な数学的対象を定義することができます。
例えば、クラスター代数とその変種達(量子化への拡張やフリーズパターンへの特殊化)は箙情報を与えるごとに定義されます。
クラスター代数の特殊化であるフリーズパターンに関する詳しい解説(高校生に配ったもの)が次のリンク先にあります。
https://genkuroki.github.io/documents/20120810FriezePattern.pdf
#Calculus #LinearAlgebra #QuantumAlgebra #ClusterAlgebra
添付画像は一般化された場合の箙(えびら、quiver)の例です。
箙の情報を数値化するには、よく反対称化可能整数行列が使われます。その定義は「成分が整数の正方行列である正の整数を対角成分とする対角行列を左からかけると反対称になるもの」です。特に整数を成分とする反対称行列は例になっています。
添付図の丸の中の数は反対称化に使われる対角行列の成分で、丸$j$から丸$i$への$a$重の矢線は反対称化によって得られた反対称行列の $(i,j)$ 成分が $a$ であることを意味しています。
反対称化可能整数行列に対して、その全ての成分をその絶対値に置き換えたものを $2E$ から引いて得られる行列が一般Cartan行列の定義に一致。
「この手の整数行列達はある種の図形達から得られ、その図形達は数学の広い分野に現れる」とだけ覚えておけば引っかかる情報が増えると思います。
黒木玄 Gen Kuroki