黒木玄 Gen Kuroki複素古典型Lie代数(実型はひとまず無視)の行列による実現をどう取るかはそれなりに悩む価値がある問題。公式集を作っておくと例で確認したいときに便利。
私は大学4年～M1くらいのときには $\mathbb C^n$ の非退化対称双線型性形式として$$
[(e_i, e_j)] =
\begin{bmatrix}
& & & 1 \\
& & 1 & \\
& \text{／} & & \\
1 & & & \\
\end{bmatrix}
$$を採用して $so(n)$ を定義していました。
このようにすることの利点はCartan部分代数 $\mathfrak h$ を対角行列部分と一致させ、上下の極大べき零部分代数を上下三角行列部分に一致させることができるから。
Jimbo-Miwaのソリトン方程式関係の論文で採用している実現はこれに近かった。
$sp(2n)$ についても同様にできる。