#ComplexAnalysis #JuliaLang #PyPlot
局所的に「湧き出し吸い込み無し」「渦無し」であっても、特異点の存在によって大域的には「湧き出し吸い込み有り」「渦有り」かもしれない。
複素函数で流れを表現している場合にはポテンシャルとベクトル場の両方を複素函数で表すので混乱しないように注意。
添付画像は複素ポテンシャルが $\log z$ で、ベクトル場に対応する複素函数が $1/z$ の場合の流れの図。
実数 $a$ に対してベクトル場に対応する複素函数 $a/z$ は原点に電荷 $a$ の粒子があって、$a$ 本の電気力線が流れ出している状況を表現している。
百聞は一見に如かず。
図を描かずに理解できるはずがない話。
添付画像は複素ポテンシャルが $-i\log z$ で、ベクトル場に対応する複素函数が $-i/z$ の場合の流れの図。 https://mathtod.online/media/HteSElmAFbmhqEOKdt4
添付画像は複素ポテンシャルが $\log(z+1)-\log(z-1)$ で、ベクトル場に対応する複素函数が $1/(z+1)-1/(z-1)$ の場合の流れの図。 https://mathtod.online/media/Gi2CThdUS24TTdlUFfo
添付画像は複素ポテンシャルが $-i\log(z+1)+i\log(z-1)$ で、ベクトル場に対応する複素函数が $-i/(z+1)+i/(z-1)$ の場合の流れの図。 https://mathtod.online/media/ClA3xot_RCwDzHlYnVg
添付画像は複素ポテンシャルではなく、ベクトル場に対応する複素函数が $\log z$ の場合の流れの図。 複素ポテンシャルはその不定積分 $z\log z-z$.
負の実軸にカットが入っている。 https://mathtod.online/media/ihLJqADdFCjrncSQJLI
完全WKB解析では、ベクトル場に対応する複素函数が平方根を取るせいで多価の場合の流れの図を描くことが必要になるのですが、ベクトル場の「向き」を無視すれば多価性の影響が消えて綺麗な図になるというようなことになったりします。
#ComplexAnalysis #JuliaLang #PyPlot
流れの図の描き方は添付画像を見ればわかります。 https://juliabox.com/ を使いました。スマホからも使えます。
./ のように . を付けた演算子は成分ごとにその演算を行うことを意味します。(. をつけないと行列の演算になる)
成分ごとの対数は log.(z) です。
虚数単位は im です。
PyPlotパッケージを使用し続けているのは streamplot も使用できるから。流れの図を描けないプロット環境は不便過ぎる。
百聞は一見に如かずなので、気軽に図を描く技術の習得は結構大事なことです。
コンピューターの扱いが苦手なら手計算で大雑把に図を描く技術の習得が必須になる。
x=collect(linspace(-2,2,41)) は -2 から 2 までの両端を含む区間を41等分する等差数列を成分に持つ縦ベクトル。
x' は x の転置で横ベクトル。
x' .+ im*y
は横ベクトル x' と縦ベクトル im*y の和。そのままでは和を取れないので、 x' のコピーを縦に並べてできる行列と im*y のコピーを横に並べてできる行列のサイズを揃えてから和を取ったものになります。この特殊な仕様は結構便利です。
この手の「計算線形代数」的な仕様の理解がコンピューターで図を描くときの最初の関門だったりします。
Julia言語でのグラフ作画パッケージの現時点での「標準」はPyPlotとPlotsの両方だと思います。
前者はPythonでの標準で「なんでもできる」感じ。
後者はpyplotやgrを含めて複数のバックエンドを共通のインターフェースで使える点が便利です。
現時点でPlotsパッケージが対応していないのはPyPlotでのstreamplotに対応する機能。
ベクトル場を積分して軌跡を見易くプロットする機能をPlotsパッケージで使えるようにしてくれる人がいると感謝する人が結構いると思う。
確か、Mathematicaの流れ図の作図は極めて優秀だったはず。pyplotのstreamplotよりも秀逸だったと思います。
黒木玄 Gen Kuroki