命題 \( p \) を固定し、付置 \( 𝑣(𝑤, 𝑝) \) を \( 𝑣(𝑤) \) と表す。あるモデル上の \( 𝑣 \) は \( 𝑣 : 𝑊 → \{0, 1\} \) と書ける。関数 \( \{0, 1\}^W \) を考えると、 \( 𝑣 ≠ 𝑣' \) なる \( 𝑣' ∈ \{0, 1\}^W \) が存在することが分かる。このような \( 𝑣' \) を付置関数としてもつ可能世界を \( 𝑊' \) とおき、\( 𝑊 \) と \( 𝑊' \) を含む可能世界の集合の集合 \( \{𝑊, 𝑊', \dots \} \) を二階の可能世界集合 \( 𝑊^{(2)} \) と表す。同様にして、\( 𝑊^{(2)} \) の各要素に対して付置関数を与える関数を二階の付置関数 \( v^{(2)} \) と表す。すなわち \( v^{(2)} : W^{(2)} \to \{0, 1\}^W \) 。以下同様にして \( 𝑛 \) 階の可能世界集合 \( W^{(n)} \) および \( 𝑛 \) 階の付置関数 \( 𝑣^{(n)} \) を構成できる。このようにして、無限階の可能世界を構成することができる。また、無限階の可能世界については三浦俊彦『可能世界の哲学』に同様の議論がある。

#analytic_philosophy #possible_worlds