Erwin Schrödinger InstituteOne of our Junior Research Fellows Yang Yang and our previous workshop visitors Prof Christoph Schweigert and Prof Jürgen Fuchs have just released a new article. Check it out ▶️ https://arxiv.org/pdf/2305.02773.pdf
Our former visitors Prof Schweigert and Prof Fuchs released a paper together with our current Junior Research Fellow Dr Yang on #QuantumAlgebra. 🔣
Follow the link to read it ⏯️ https://arxiv.org/pdf/2302.01468.pdf
黒木玄 Gen Kuroki#Calculus #LinearAlgebra #QuantumAlgebra #ClusterAlgebra
添付画像は一般化された場合の箙(えびら、quiver)の例です。
箙の情報を数値化するには、よく反対称化可能整数行列が使われます。その定義は「成分が整数の正方行列である正の整数を対角成分とする対角行列を左からかけると反対称になるもの」です。特に整数を成分とする反対称行列は例になっています。
添付図の丸の中の数は反対称化に使われる対角行列の成分で、丸$j$から丸$i$への$a$重の矢線は反対称化によって得られた反対称行列の $(i,j)$ 成分が $a$ であることを意味しています。
反対称化可能整数行列に対して、その全ての成分をその絶対値に置き換えたものを $2E$ から引いて得られる行列が一般Cartan行列の定義に一致。
「この手の整数行列達はある種の図形達から得られ、その図形達は数学の広い分野に現れる」とだけ覚えておけば引っかかる情報が増えると思います。
#Calculus #LieAlgebra #LieAlgebra #QuantumAlgebra #ClusterAlgebra
丸を線で結んだ図形(の一般化)の線を矢線に変えた図形を箙(中事案啓さんによるquiverの翻訳、えびらと読む)と呼びます。エビラについては添付画像も参照(笑)。
箙に対しては、矢線の向きの情報も利用でき、さらに様々な基本的な数学的対象を定義することができます。
例えば、クラスター代数とその変種達(量子化への拡張やフリーズパターンへの特殊化)は箙情報を与えるごとに定義されます。
クラスター代数の特殊化であるフリーズパターンに関する詳しい解説(高校生に配ったもの)が次のリンク先にあります。
https://genkuroki.github.io/documents/20120810FriezePattern.pdf
#Calculus #LinearAlgebra #LieAlgebra #QuantumAlgebra
一般化された図形の例は添付画像。添付画像は
https://mathtod.online/@genkuroki/204074
より。この手の図形に対してLie代数を対応させる方法を天下り的に説明するのは易しいです。難しいのはそんなことをして何がうれしいかの説明。
添付画像は対応するLie代数が有限次元になる場合です。図形が複雑になると対応するLie代数は通常無限次元になり、制御が非常に難しくなる。
図形をそのまま扱うのは大変なので、通常、図形の情報を(対称化可能)一般Cartan行列 $A=[a_{ij}]$ に翻訳して扱います。$A_n$ 型の図形に対応する(一般)Cartan行列は本質的に離散線分状の離散Laplacianになります。$A_n$ 型の図形に対応するLie代数はトレースが0の行列全体で構成される $\mathrm{sl}(n+1)$ になります。
genkuroki on mathtod.online
https://mathtod.online/@7shi/203900 四元数と3次元の回転の関係は「Lie群 $SU(2)$ の随伴表現」。 $i,j,k$ を正規直交基底とする3次元Euclid空間に $i,j,k$ 軸を中心とする角度 $2\theta$ の回転がそれぞれ\begin{align*} &a\mapsto e^{i\theta}a e^{-i\theta},\\ &a\mapsto e^{j\theta}a e^{-j\theta},\\ &a\mapsto e^{k\theta}a e^{ -k\theta} \end{align*}で作用している。 Lie群 $SU(2)$ の四元数体 $\mathbb H$ を使った実現の仕方は\[ SU(2)=\{\,g\in\mathbb H\mid |g|=1\,\}. \]これのLie代数が\[ \operatorname{su}(2)=\mathbb Ri+\mathbb Rj+\mathbb Rk. \]$SU(2)$ の $\operatorname{su}(2)$ への随伴表現の特殊化が上で示した式。